微分積分例

$\frac{x^{2}}{{(3 + x)}^{7}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(3 + x)}^{7}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(3 + x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{7}]}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{7}]}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = 3 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 + x$ とします。

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [3 + x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [3 + x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $3 + x$ で置き換えます。

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} \frac{d}{d x} [3 + x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $3 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 4.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} \frac{d}{d x} [x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} \cdot 1)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 4.5

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

${(3 + x)}^{6} x$ を ${(3 + x)}^{7} \cdot 2 x - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1.1

${(3 + x)}^{6} x$ を ${(3 + x)}^{7} \cdot 2 x$ で因数分解します。

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 5.1.1.2

${(3 + x)}^{6} x$ を $- x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})$ で因数分解します。

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2) + {(3 + x)}^{6} x (- x \cdot 7)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 5.1.1.3

${(3 + x)}^{6} x$ を ${(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2) + {(3 + x)}^{6} x (- x \cdot 7)$ で因数分解します。

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2 - x \cdot 7)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 5.1.2

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2 - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 5.1.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (3 \cdot 2 + x \cdot 2 - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 5.1.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 + x \cdot 2 - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 5.1.3.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 + 2 x - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 5.1.4

$2 x$ から $7 x$ を引きます。

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

${({(3 + x)}^{7})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)}{{(3 + x)}^{7 \cdot 2}}$

ステップ 5.2.1.2

$7$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)}{{(3 + x)}^{14}}$

ステップ 5.2.2

${(3 + x)}^{6}$ と ${(3 + x)}^{14}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

${(3 + x)}^{6}$ を ${(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)$ で因数分解します。

$\frac{{(3 + x)}^{6} (x (6 - 5 x))}{{(3 + x)}^{14}}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

${(3 + x)}^{6}$ を ${(3 + x)}^{14}$ で因数分解します。

$\frac{{(3 + x)}^{6} (x (6 - 5 x))}{{(3 + x)}^{6} {(3 + x)}^{8}}$

ステップ 5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(3 + x)}^{6} (x (6 - 5 x))}{{(3 + x)}^{6} {(3 + x)}^{8}}$

ステップ 5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x (6 - 5 x)}{{(3 + x)}^{8}}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$\frac{x (6 - 5 x)}{{(x + 3)}^{8}}$

微分積分 例

微分積分例