微分積分例

$g (x) = \frac{8 x^{6} - 6 x^{8}}{x^{4}}$

ステップ 1

$f (x) = 8 x^{6} - 6 x^{8}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [8 x^{6} - 6 x^{8}] - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 2

総和則では、 $8 x^{6} - 6 x^{8}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ です。

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [8 x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{6}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$\frac{x^{4} (8 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4} (8 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 3.3

$6$ に $8$ をかけます。

$\frac{x^{4} (48 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{8}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ です。

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 (8 x^{7})) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 4.3

$8$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 48 x^{7}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

項を並べ替えます。

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 5.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) + (- (8 x^{6}) - (- 6 x^{8})) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 48 x^{4} x^{7} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.2

指数を足して $x^{4}$ に $x^{7}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.2.1

$x^{7}$ を移動させます。

$\frac{- 48 (x^{7} x^{4}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 48 x^{7 + 4} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.2.3

$7$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 48 x^{11} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{4} x^{5} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.4

指数を足して $x^{4}$ に $x^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.4.1

$x^{5}$ を移動させます。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 (x^{5} x^{4}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{5 + 4} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.4.3

$5$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.5

指数を足して $x^{6}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.5.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 (x^{3} x^{6})) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{3 + 6}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.5.3

$3$ と $6$ をたし算します。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{9}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.6

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 8 x^{9} \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.7

$4$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.8

指数を足して $x^{8}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.8.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 (x^{3} x^{8})) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{3 + 8}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.8.3

$3$ と $8$ をたし算します。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{11}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.9

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 6 x^{11} \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.1.10

$4$ に $6$ をかけます。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 24 x^{11}}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.2

$- 48 x^{11}$ と $24 x^{11}$ をたし算します。

$\frac{- 24 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.3

$48 x^{9}$ から $32 x^{9}$ を引きます。

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 6.5

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{4 \cdot 2}}$

ステップ 6.5.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{8}}$

ステップ 6.6

$8 x^{9}$ を $- 24 x^{11} + 16 x^{9}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$8 x^{9}$ を $- 24 x^{11}$ で因数分解します。

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 16 x^{9}}{x^{8}}$

ステップ 6.6.2

$8 x^{9}$ を $16 x^{9}$ で因数分解します。

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)}{x^{8}}$

ステップ 6.6.3

$8 x^{9}$ を $8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)$ で因数分解します。

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)}{x^{8}}$

ステップ 6.7

$x^{9}$ と $x^{8}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$x^{8}$ を $8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)$ で因数分解します。

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8}}$

ステップ 6.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{8 x (- 3 x^{2} + 2)}{1}$

ステップ 6.7.2.4

$8 x (- 3 x^{2} + 2)$ を $1$ で割ります。

$8 x (- 3 x^{2} + 2)$

ステップ 6.8

分配則を当てはめます。

$8 x (- 3 x^{2}) + 8 x \cdot 2$

ステップ 6.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 8 x \cdot 2$

ステップ 6.10

$2$ に $8$ をかけます。

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 16 x$

ステップ 6.11

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$8 \cdot - 3 (x^{2} x) + 16 x$

ステップ 6.11.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$8 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 16 x$

ステップ 6.11.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 16 x$

ステップ 6.11.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$8 \cdot - 3 x^{3} + 16 x$

ステップ 6.11.2

$8$ に $- 3$ をかけます。

$- 24 x^{3} + 16 x$

微分積分 例

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