微分積分例

$f (x) = 2 + \ln (x^{6})$ ; $x = e$

ステップ 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = e$ .

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ステップ 1.1

$e$ を $x$ に代入します。

$y = 2 + \ln ({(e)}^{6})$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 2 + \ln (e^{6})$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = 2 + \ln ({(e)}^{6})$

ステップ 1.2.3

$2 + \ln ({(e)}^{6})$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

対数の法則を利用して指数の外に $6$ を移動します。

$y = 2 + 6 \ln (e)$

ステップ 1.2.3.1.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y = 2 + 6 \cdot 1$

ステップ 1.2.3.1.3

$6$ に $1$ をかけます。

$y = 2 + 6$

ステップ 1.2.3.2

$2$ と $6$ をたし算します。

$y = 8$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = e$ と $y = 8$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $2 + \ln (x^{6})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$

ステップ 2.1.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{6}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{6}$ とします。

$0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 2.2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{6}$ で置き換えます。

$0 + \frac{1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 2.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{x^{6}} (6 x^{5})$

ステップ 2.2.3

$6$ と $\frac{1}{x^{6}}$ をまとめます。

$0 + \frac{6}{x^{6}} x^{5}$

ステップ 2.2.4

$\frac{6}{x^{6}}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$0 + \frac{6 x^{5}}{x^{6}}$

ステップ 2.2.5

$x^{5}$ と $x^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.5.1

$x^{5}$ を $6 x^{5}$ で因数分解します。

$0 + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{6}}$

ステップ 2.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.5.2.1

$x^{5}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$0 + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x}$

ステップ 2.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$0 + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x}$

ステップ 2.2.5.2.3

式を書き換えます。

$0 + \frac{6}{x}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{6}{x}$ をたし算します。

$\frac{6}{x}$

ステップ 2.4

$x = e$ で微分係数を求めます。

$\frac{6}{e}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{6}{e}$ と与えられた点 $(e, 8)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (8) = \frac{6}{e} \cdot (x - (e))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 8 = \frac{6}{e} \cdot (x - e)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{6}{e} \cdot (x - e)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{6}{e} \cdot (x - e)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 8 = \frac{6}{e} \cdot (x - e)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 8 = \frac{6}{e} x + \frac{6}{e} (- e)$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{6}{e}$ と $x$ をまとめます。

$y - 8 = \frac{6 x}{e} + \frac{6}{e} (- e)$

ステップ 3.3.1.5

$e$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.5.1

$e$ を $- e$ で因数分解します。

$y - 8 = \frac{6 x}{e} + \frac{6}{e} (e \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.5.2

共通因数を約分します。

$y - 8 = \frac{6 x}{e} + \frac{6}{e} (e \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.5.3

式を書き換えます。

$y - 8 = \frac{6 x}{e} + 6 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.6

$6$ に $- 1$ をかけます。

$y - 8 = \frac{6 x}{e} - 6$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$y = \frac{6 x}{e} - 6 + 8$

ステップ 3.3.2.2

$- 6$ と $8$ をたし算します。

$y = \frac{6 x}{e} + 2$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{6}{e} x + 2$

ステップ 4

微分積分 例

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