微分積分例

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \sin (x)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 1.1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

ステップ 1.1.3.5

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ です。

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

ステップ 2.2

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$6 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.3

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$6 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.3.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$6 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.3.1.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$6 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2.4

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.4.1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $- 4 \sin^{2} (x)$ を $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ で置き換えます。

$6 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

分配則を当てはめます。

$6 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.4.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$6 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.4.2.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$6 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.4.3

$2$ から $4$ を引きます。

$6 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.4.4

多項式を並べ替えます。

$4 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) - 2 = 0$

ステップ 2.4.5

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$4 {(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

ステップ 2.4.6

$2$ を $4 u^{2} + 6 u - 2$ で因数分解します。

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ステップ 2.4.6.1

$2$ を $4 u^{2}$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2}) + 6 u - 2 = 0$

ステップ 2.4.6.2

$2$ を $6 u$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) - 2 = 0$

ステップ 2.4.6.3

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 (- 1) = 0$

ステップ 2.4.6.4

$2$ を $2 (2 u^{2}) + 2 (3 u)$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1) = 0$

ステップ 2.4.6.5

$2$ を $2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

ステップ 2.4.7

$2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.7.1

$2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.4.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.7.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.4.7.2.1.2

$2 u^{2} + 3 u - 1$ を $1$ で割ります。

$2 u^{2} + 3 u - 1 = \frac{0}{2}$

ステップ 2.4.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.7.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$2 u^{2} + 3 u - 1 = 0$

ステップ 2.4.8

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.9

$a = 2$ 、 $b = 3$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.10

簡約します。

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ステップ 2.4.10.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.10.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.10.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.10.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.10.1.2.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.10.1.3

$9$ と $8$ をたし算します。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

ステップ 2.4.11

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.11.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.11.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.11.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.11.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.11.1.2.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.11.1.3

$9$ と $8$ をたし算します。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

ステップ 2.4.11.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$u = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{4}$

ステップ 2.4.11.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$u = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{17}}{4}$

ステップ 2.4.11.5

$- 1$ を $\sqrt{17}$ で因数分解します。

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{17})}{4}$

ステップ 2.4.11.6

$- 1$ を $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{17})$ で因数分解します。

$u = \frac{- 1 (3 - \sqrt{17})}{4}$

ステップ 2.4.11.7

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

ステップ 2.4.12

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.12.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.12.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.12.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.4.12.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.12.1.2.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.12.1.3

$9$ と $8$ をたし算します。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.12.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

ステップ 2.4.12.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$u = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{4}$

ステップ 2.4.12.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{17}}{4}$

ステップ 2.4.12.5

$- 1$ を $- \sqrt{17}$ で因数分解します。

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{17})}{4}$

ステップ 2.4.12.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (\sqrt{17})$ で因数分解します。

$u = \frac{- 1 (3 + \sqrt{17})}{4}$

ステップ 2.4.12.7

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

ステップ 2.4.13

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

ステップ 2.4.14

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

ステップ 2.4.15

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

ステップ 2.4.16

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 2.4.16.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

ステップ 2.4.16.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.16.2.1

$\arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ の値を求めます。

$x = 1.28619336$

ステップ 2.4.16.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

ステップ 2.4.16.4

$x$ について解きます。

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ステップ 2.4.16.4.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

ステップ 2.4.16.4.2

$2 (3.14159265) - 1.28619336$ を簡約します。

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ステップ 2.4.16.4.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 1.28619336$

ステップ 2.4.16.4.2.2

$6.2831853$ から $1.28619336$ を引きます。

$x = 4.99699194$

ステップ 2.4.16.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.4.16.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.4.16.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.4.16.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.4.16.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.4.16.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.4.17

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 2.4.17.1

余弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 2.4.18

すべての解をまとめます。

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1.28619336$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1.28619336$ を $x$ に代入します。

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2 (1.28619336))$

ステップ 4.1.2

$2$ に $1.28619336$ をかけます。

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)$

ステップ 4.2

$x = 4.99699194$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$4.99699194$ を $x$ に代入します。

$6 \sin (4.99699194) + \sin (2 (4.99699194))$

ステップ 4.2.2

$2$ に $4.99699194$ をかけます。

$6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)$

ステップ 4.3

$x = 4.99699194 + 2 π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$4.99699194 + 2 π$ を $x$ に代入します。

$6 \sin (4.99699194 + 2 π) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

ステップ 4.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$4.99699194$ と $2 π$ をたし算します。

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

ステップ 4.3.2.2

$4.99699194$ と $2 π$ をたし算します。

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 \cdot 11.28017724)$

ステップ 4.3.2.3

$2$ に $11.28017724$ をかけます。

$6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)$

ステップ 4.4

$x = 4.99699194 + 4 π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$4.99699194 + 4 π$ を $x$ に代入します。

$6 \sin (4.99699194 + 4 π) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

ステップ 4.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$4.99699194$ と $4 π$ をたし算します。

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

ステップ 4.4.2.2

$4.99699194$ と $4 π$ をたし算します。

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 \cdot 17.56336255)$

ステップ 4.4.2.3

$2$ に $17.56336255$ をかけます。

$6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)$

ステップ 4.5

$x = 4.99699194 + 6 π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$4.99699194 + 6 π$ を $x$ に代入します。

$6 \sin (4.99699194 + 6 π) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

ステップ 4.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

$4.99699194$ と $6 π$ をたし算します。

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

ステップ 4.5.2.2

$4.99699194$ と $6 π$ をたし算します。

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 \cdot 23.84654786)$

ステップ 4.5.2.3

$2$ に $23.84654786$ をかけます。

$6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)$

ステップ 4.6

$x = 4.99699194 + 8 π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$4.99699194 + 8 π$ を $x$ に代入します。

$6 \sin (4.99699194 + 8 π) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

ステップ 4.6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

$4.99699194$ と $8 π$ をたし算します。

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

ステップ 4.6.2.2

$4.99699194$ と $8 π$ をたし算します。

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 \cdot 30.12973317)$

ステップ 4.6.2.3

$2$ に $30.12973317$ をかけます。

$6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634)$

ステップ 4.7

点のすべてを一覧にします。

$(1.28619336 + 2 π n, 6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)), (4.99699194, 6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)), (4.99699194 + 2 π, 6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)), (4.99699194 + 4 π, 6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)), (4.99699194 + 6 π, 6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)), (4.99699194 + 8 π, 6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634))$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例