微分積分例

$\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 36$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$7 \frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \frac{(x^{2} + 36) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$2$ を $x^{2} + 36$ の左に移動させます。

$7 \frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

総和則では、 $x^{2} + 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ です。

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

$1$ と $2$ をたし算します。

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.7

$7$ と $\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{7 (2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8

簡約します。

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ステップ 1.1.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{7 ((2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (2 x^{2} x) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.8.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.8.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.8.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{7 (2 (x \cdot x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.1.8.4.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 (2 (x^{1} x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7 (2 x^{1 + 2}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{7 (2 x^{3}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.2

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{14 x^{3} + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.3

$2$ に $36$ をかけます。

$\frac{14 x^{3} + 7 (72 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.4

$72$ に $7$ をかけます。

$\frac{14 x^{3} + 504 x + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.5

$- 2$ に $7$ をかけます。

$\frac{14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.2

$14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.8.4.2.1

$14 x^{3}$ から $14 x^{3}$ を引きます。

$\frac{504 x + 0}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.2.2

$504 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ です。

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$504 x = 0$

ステップ 2.3

$504 x = 0$ の各項を $504$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$504 x = 0$ の各項を $504$ で割ります。

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$504$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{504}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $504$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{7 {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 36}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{7 \cdot 0}{0^{2} + 36}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{7 \cdot 0}{0 + 36}$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $36$ をたし算します。

$\frac{7 \cdot 0}{36}$

ステップ 4.1.2.3

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.3.1

$7$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{36}$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ を $36$ で割ります。

$0$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例