微分積分例

$4 x^{2} (x - 3)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2} (x - 3)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$4 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$4 (x^{2} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 (x^{2} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.4.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$4 (x^{2} + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} + (x - 3) (2 x))$

ステップ 1.1.3.6

$2$ を $x - 3$ の左に移動させます。

$4 (x^{2} + 2 \cdot (x - 3) x)$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$4 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 3) x)$

ステップ 1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$4 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x)$

ステップ 1.1.4.3

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} + 4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 1.1.4.4

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$4 x^{2} + 4 (2 (x^{1} x)) + 4 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 1.1.4.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$4 x^{2} + 4 (2 (x^{1} x^{1})) + 4 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 1.1.4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{2} + 4 (2 x^{1 + 1}) + 4 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 1.1.4.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 x^{2} + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 1.1.4.4.5

$2$ に $4$ をかけます。

$4 x^{2} + 8 x^{2} + 4 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 1.1.4.4.6

$2$ に $- 3$ をかけます。

$4 x^{2} + 8 x^{2} + 4 (- 6 x)$

ステップ 1.1.4.4.7

$- 6$ に $4$ をかけます。

$4 x^{2} + 8 x^{2} - 24 x$

ステップ 1.1.4.4.8

$4 x^{2}$ と $8 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} - 24 x$ です。

$12 x^{2} - 24 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 24 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 24 x = 0$

ステップ 2.2

$12 x$ を $12 x^{2} - 24 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$12 x$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 x (x) - 24 x = 0$

ステップ 2.2.2

$12 x$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

ステップ 2.2.3

$12 x$ を $12 x (x) + 12 x (- 2)$ で因数分解します。

$12 x (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

最終解は $12 x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $4 x^{2} (x - 3)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$4 {(0)}^{2} ((0) - 3)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 \cdot 0 ((0) - 3)$

ステップ 4.1.2.2

$4$ に $0$ をかけます。

$0 ((0) - 3)$

ステップ 4.1.2.3

$0$ から $3$ を引きます。

$0 \cdot - 3$

ステップ 4.1.2.4

$0$ に $- 3$ をかけます。

$0$

ステップ 4.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$4 {(2)}^{2} ((2) - 3)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$4 \cdot 4 ((2) - 3)$

ステップ 4.2.2.2

$4$ に $4$ をかけます。

$16 ((2) - 3)$

ステップ 4.2.2.3

$2$ から $3$ を引きます。

$16 \cdot - 1$

ステップ 4.2.2.4

$16$ に $- 1$ をかけます。

$- 16$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (2, - 16)$

ステップ 5

微分積分 例

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