微分積分例

$\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{5} x^{5}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.2.3

$5$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{5}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.2.5

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- \frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4}{3} x^{3}$ の微分係数は $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$x^{4} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} - \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x^{4} - 3 (\frac{4}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.3.4

$- 3$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$x^{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.3.5

$- 3$ に $4$ をかけます。

$x^{4} + \frac{- 12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.3.6

$\frac{- 12}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x^{4} + \frac{- 12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.3.7

$- 12$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1

$3$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.3.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.3.7.2.3

式を書き換えます。

$x^{4} + \frac{- 4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.3.7.2.4

$- 4 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} - 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$\frac{17}{15}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{17}{15}$ の微分係数は $0$ です。

$x^{4} - 4 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.4.2

$x^{4} - 4 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{4} - 4 x^{2}$ です。

$x^{4} - 4 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{4} - 4 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{4} - 4 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$u^{2} - 4 u = 0$

ステップ 2.2.3

$u$ を $u^{2} - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot u - 4 u = 0$

ステップ 2.2.3.2

$u$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$u \cdot u + u \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.2.3.3

$u$ を $u \cdot u + u \cdot - 4$ で因数分解します。

$u (u - 4) = 0$

ステップ 2.2.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x^{2} - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x^{2} - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} = 4$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 2.5.2.3

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.5.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 2.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 2.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 2.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 2.6

最終解は $x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2, - 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.1.2.1.2

$\frac{1}{5}$ に $0$ をかけます。

$0 - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - \frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{17}{15}$

ステップ 4.1.2.1.4

$- \frac{4}{3} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 0 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

ステップ 4.1.2.1.4.2

$0$ に $\frac{4}{3}$ をかけます。

$0 + 0 + \frac{17}{15}$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + \frac{17}{15}$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $\frac{17}{15}$ をたし算します。

$\frac{17}{15}$

ステップ 4.2

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{5} \cdot {(2)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$2$ を $5$ 乗します。

$\frac{1}{5} \cdot 32 - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.1.2

$\frac{1}{5}$ と $32$ をまとめます。

$\frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot 8 + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.1.4

$- \frac{4}{3} \cdot 8$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.1

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{32}{5} - 8 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.1.4.2

$- 8$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$\frac{32}{5} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.1.4.3

$- 8$ に $4$ をかけます。

$\frac{32}{5} + \frac{- 32}{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{32}{5} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$\frac{32}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.2.2

$\frac{32}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.2.3

$\frac{32}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.2.4

$\frac{32}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.2.5

$5 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$\frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.2.6

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.2.7

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{32 \cdot 3 - 32 \cdot 5 + 17}{15}$

ステップ 4.2.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.4.1

$32$ に $3$ をかけます。

$\frac{96 - 32 \cdot 5 + 17}{15}$

ステップ 4.2.2.4.2

$- 32$ に $5$ をかけます。

$\frac{96 - 160 + 17}{15}$

ステップ 4.2.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.5.1

$96$ から $160$ を引きます。

$\frac{- 64 + 17}{15}$

ステップ 4.2.2.5.2

$- 64$ と $17$ をたし算します。

$\frac{- 47}{15}$

ステップ 4.2.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{47}{15}$

ステップ 4.3

$x = - 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{5} \cdot {(- 2)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 2$ を $5$ 乗します。

$\frac{1}{5} \cdot - 32 - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.1.2

$\frac{1}{5}$ と $- 32$ をまとめます。

$\frac{- 32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot - 8 + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.1.5

$- \frac{4}{3} \cdot - 8$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.5.1

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{32}{5} + 8 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.1.5.2

$8$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$- \frac{32}{5} + \frac{8 \cdot 4}{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.1.5.3

$8$ に $4$ をかけます。

$- \frac{32}{5} + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$\frac{32}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- (\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.2.2

$\frac{32}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.2.3

$\frac{32}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.2.4

$\frac{32}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.2.5

$5 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.2.6

$3$ に $5$ をかけます。

$- \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.2.7

$3$ に $5$ をかけます。

$- \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{17}{15}$

ステップ 4.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 32 \cdot 3 + 32 \cdot 5 + 17}{15}$

ステップ 4.3.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$- 32$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 96 + 32 \cdot 5 + 17}{15}$

ステップ 4.3.2.4.2

$32$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 96 + 160 + 17}{15}$

ステップ 4.3.2.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$- 96$ と $160$ をたし算します。

$\frac{64 + 17}{15}$

ステップ 4.3.2.5.2

$64$ と $17$ をたし算します。

$\frac{81}{15}$

ステップ 4.3.2.5.3

$81$ と $15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.3.1

$3$ を $81$ で因数分解します。

$\frac{3 (27)}{15}$

ステップ 4.3.2.5.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.3.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 5}$

ステップ 4.3.2.5.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 5}$

ステップ 4.3.2.5.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{27}{5}$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, \frac{17}{15}), (2, - \frac{47}{15}), (- 2, \frac{27}{5})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例