微分積分例

$\arctan (x^{2} - 2 x)$

ステップ 1

$\arctan (x^{2} - 2 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = x^{2} - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 2.1.1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 2.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.1.2.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \cdot 1)$

ステップ 2.1.2.5

式を簡約します。

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ステップ 2.1.2.5.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$

ステップ 2.1.2.5.2

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ です。

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 2 = 0$

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

ステップ 3.3

$2 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.1

$2 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 2 = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ について $2 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$2 x = 2$

ステップ 3.3.2.2

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 3.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{2}$

ステップ 3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 3.4

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 3.4.2.2

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3.5

最終解は $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $1$ です。

$1$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = (2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ です。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {({(0)}^{2} - 2 \cdot 0)}^{2}})$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 - 2 \cdot 0)}^{2}})$

ステップ 6.2.1.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 + 0)}^{2}})$

ステップ 6.2.1.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

ステップ 6.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

ステップ 6.2.1.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

ステップ 6.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

ステップ 6.2.2.1.2

式を書き換えます。

$f' (0) = (2 (0) - 2) \cdot 1$

ステップ 6.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$2 (0) - 2$ に $1$ をかけます。

$f' (0) = 2 (0) - 2$

ステップ 6.2.2.2.2

$2$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 - 2$

ステップ 6.2.2.2.3

$0$ から $2$ を引きます。

$f' (0) = - 2$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 6.3

$x = 0$ で微分係数は $- 2$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {({(2)}^{2} - 2 \cdot 2)}^{2}})$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}})$

ステップ 7.2.1.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 4)}^{2}})$

ステップ 7.2.1.2

$4$ から $4$ を引きます。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

ステップ 7.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

ステップ 7.2.1.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

ステップ 7.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

ステップ 7.2.2.1.2

式を書き換えます。

$f' (2) = (2 (2) - 2) \cdot 1$

ステップ 7.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$2 (2) - 2$ に $1$ をかけます。

$f' (2) = 2 (2) - 2$

ステップ 7.2.2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = 4 - 2$

ステップ 7.2.2.2.3

$4$ から $2$ を引きます。

$f' (2) = 2$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 7.3

$x = 2$ で微分係数は $2$ です。これは正の値なので、関数は $(1, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(1, \infty)$ で増加

$(- \infty, 1)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例