微分積分例

$3 x^{3} - 18 x^{2} + 36 x - 25$

ステップ 1

$3 x^{3} - 18 x^{2} + 36 x - 25$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 x^{3} - 18 x^{2} + 36 x - 25$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $3 x^{3} - 18 x^{2} + 36 x - 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [- 25]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [- 25]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [- 25]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [- 25]$

ステップ 2.1.2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [- 25]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x^{2}$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$9 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [- 25]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [- 25]$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $- 18$ をかけます。

$9 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [- 25]$

ステップ 2.1.4

$\frac{d}{d x} [36 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.4.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 x^{2} - 36 x + 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 25]$

ステップ 2.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{2} - 36 x + 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 25]$

ステップ 2.1.4.3

$36$ に $1$ をかけます。

$9 x^{2} - 36 x + 36 + \frac{d}{d x} [- 25]$

ステップ 2.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.5.1

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$9 x^{2} - 36 x + 36 + 0$

ステップ 2.1.5.2

$9 x^{2} - 36 x + 36$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 x + 36$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $9 x^{2} - 36 x + 36$ です。

$9 x^{2} - 36 x + 36$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $9 x^{2} - 36 x + 36 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$9 x^{2} - 36 x + 36 = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$9$ を $9 x^{2} - 36 x + 36$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$9$ を $9 x^{2}$ で因数分解します。

$9 (x^{2}) - 36 x + 36 = 0$

ステップ 3.2.1.2

$9$ を $- 36 x$ で因数分解します。

$9 (x^{2}) + 9 (- 4 x) + 36 = 0$

ステップ 3.2.1.3

$9$ を $36$ で因数分解します。

$9 x^{2} + 9 (- 4 x) + 9 \cdot 4 = 0$

ステップ 3.2.1.4

$9$ を $9 x^{2} + 9 (- 4 x)$ で因数分解します。

$9 (x^{2} - 4 x) + 9 \cdot 4 = 0$

ステップ 3.2.1.5

$9$ を $9 (x^{2} - 4 x) + 9 \cdot 4$ で因数分解します。

$9 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

ステップ 3.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$9 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 3.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 3.2.2.3

多項式を書き換えます。

$9 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 3.2.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$9 {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.3

$9 {(x - 2)}^{2} = 0$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$9 {(x - 2)}^{2} = 0$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

ステップ 3.3.2.1.2

${(x - 2)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{9}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$0$ を $9$ で割ります。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.4

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.5

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $2$ です。

$2$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = 9 x^{2} - 36 x + 36$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = 3 x^{3} - 18 x^{2} + 36 x - 25$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ です。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 9 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 36$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 9 \cdot 1 - 36 \cdot 1 + 36$

ステップ 6.2.1.2

$9$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 9 - 36 \cdot 1 + 36$

ステップ 6.2.1.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 9 - 36 + 36$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$9$ から $36$ を引きます。

$f' (1) = - 27 + 36$

ステップ 6.2.2.2

$- 27$ と $36$ をたし算します。

$f' (1) = 9$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $9$ です。

$9$

ステップ 6.3

$x = 1$ で微分係数は $9$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 2)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 2)$ で増加

ステップ 7

区間 $(2, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3 + 36$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 36 \cdot 3 + 36$

ステップ 7.2.1.2

$9$ に $9$ をかけます。

$f' (3) = 81 - 36 \cdot 3 + 36$

ステップ 7.2.1.3

$- 36$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = 81 - 108 + 36$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$81$ から $108$ を引きます。

$f' (3) = - 27 + 36$

ステップ 7.2.2.2

$- 27$ と $36$ をたし算します。

$f' (3) = 9$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $9$ です。

$9$

ステップ 7.3

$x = 3$ で微分係数は $9$ です。これは正の値なので、関数は $(2, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 2), (2, \infty)$ で増加

ステップ 9

微分積分 例

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