微分積分例

${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

ステップ 1

${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ を関数で書きます。

$f (x) = {(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.2.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.2.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.2.6

$5$ に $1$ をかけます。

$5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.3.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ です。

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

ステップ 3.2

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

二項定理を利用します。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

ステップ 3.2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

ステップ 3.2.1.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

ステップ 3.2.1.2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

ステップ 3.2.1.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}) - 5 = 0$

ステップ 3.2.1.2.5

$4$ に $1$ をかけます。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}) - 5 = 0$

ステップ 3.2.1.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) - 5 = 0$

ステップ 3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

ステップ 3.2.1.4

簡約します。

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ステップ 3.2.1.4.1

$4$ に $5$ をかけます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

ステップ 3.2.1.4.2

$6$ に $5$ をかけます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

ステップ 3.2.1.4.3

$4$ に $5$ をかけます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

ステップ 3.2.1.4.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5 = 0$

ステップ 3.2.2

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.2.2.1

$5$ から $5$ を引きます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 0 = 0$

ステップ 3.2.2.2

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x$ と $0$ をたし算します。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x = 0$

ステップ 3.3

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = - 2, 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- 2, 0$ です。

$- 2, 0$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = 5 {((- 3) + 1)}^{4} - 5$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 3) = 5 {(- 2)}^{4} - 5$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f' (- 3) = 5 \cdot 16 - 5$

ステップ 6.2.1.3

$5$ に $16$ をかけます。

$f' (- 3) = 80 - 5$

ステップ 6.2.2

$80$ から $5$ を引きます。

$f' (- 3) = 75$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $75$ です。

$75$

ステップ 6.3

$x = - 3$ で微分係数は $75$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 2)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 2, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 5 {((- 1) + 1)}^{4} - 5$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 1) = 5 \cdot 0^{4} - 5$

ステップ 7.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (- 1) = 5 \cdot 0 - 5$

ステップ 7.2.1.3

$5$ に $0$ をかけます。

$f' (- 1) = 0 - 5$

ステップ 7.2.2

$0$ から $5$ を引きます。

$f' (- 1) = - 5$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 5$ です。

$- 5$

ステップ 7.3

$x = - 1$ で微分係数は $- 5$ です。これは負の値なので、関数は $(- 2, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 2, 0)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 5 {((1) + 1)}^{4} - 5$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (1) = 5 \cdot 2^{4} - 5$

ステップ 8.2.1.2

$2$ を $4$ 乗します。

$f' (1) = 5 \cdot 16 - 5$

ステップ 8.2.1.3

$5$ に $16$ をかけます。

$f' (1) = 80 - 5$

ステップ 8.2.2

$80$ から $5$ を引きます。

$f' (1) = 75$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $75$ です。

$75$

ステップ 8.3

$x = 1$ で微分係数は $75$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 2), (0, \infty)$ で増加

$(- 2, 0)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

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