微分積分例

${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

ステップ 1

${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ を関数で書きます。

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.1.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.2

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.6

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.8.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.10

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.11

$\frac{2}{3}$ と ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.12

$2$ と $\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 (2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.13

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.14

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} x}{3} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

ステップ 2.1.3.2

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$4 x = 0$

ステップ 3.3

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{4}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0$ です。

$0$

ステップ 5

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 5.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 5.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

ステップ 5.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

ステップ 5.2

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 1} = 0$

ステップ 5.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 1})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 5.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2} - 1}$ を ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1

積の法則を $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.3

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 {(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.4

簡約します。

$27 (x^{2} - 1) = 0^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$27 x^{2} + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.6

$27$ に $- 1$ をかけます。

$27 x^{2} - 27 = 0^{3}$

ステップ 5.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 5.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

方程式の両辺に $27$ を足します。

$27 x^{2} = 27$

ステップ 5.3.3.2

$27 x^{2} = 27$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$27 x^{2} = 27$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

ステップ 5.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

ステップ 5.3.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{27}{27}$

ステップ 5.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.3.1

$27$ を $27$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 5.3.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 5.3.3.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 5.3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 5.3.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 5.3.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 5.4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 1, x = 1$

ステップ 6

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 7

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$4$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 7.2.2.2

$4$ から $1$ を引きます。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 7.2.3

指数を足して $3$ に $3^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$3$ に $3^{\frac{1}{3}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 7.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

ステップ 7.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

ステップ 7.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

ステップ 7.2.3.4

$3$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 7.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 2) = - \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ です。

$- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 7.3

$x = - 2$ で微分係数は $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 8

区間 $(- 1, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{2}$ で置換えます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.1.2

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.2.1.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.2.3

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.2.5.2

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 8.2.2.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.7.1

積の法則を $- \frac{3}{4}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 8.2.2.7.2

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

ステップ 8.2.2.8

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

ステップ 8.2.2.9

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

ステップ 8.2.2.10

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.10.1

共通因数を約分します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

ステップ 8.2.2.10.2

式を書き換えます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

ステップ 8.2.2.11

指数を求めます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 8.2.3

$- 4$ を $2$ で割ります。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 8.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 8.2.4.2

$- 3$ と $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 8.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.5.1

負をくくり出します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 8.2.5.2

$3$ を $1$ 乗します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 8.2.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 8.2.5.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 8.2.5.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 8.2.5.6

$3$ と $1$ をたし算します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 8.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 8.2.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

ステップ 8.2.8

$- 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.8.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

ステップ 8.2.8.2

$2$ と $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.2.8.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.2.8.4

${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.8.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.2.8.4.2

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.2.8.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.2.8.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.2.8.7

公分母の分子をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.2.8.8

$3$ と $2$ をたし算します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.2.9

最終的な答えは $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ です。

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.3

$x = - \frac{1}{2}$ で微分係数は $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 1, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 1, 0)$ で増加

ステップ 9

区間 $(0, 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{2}$ で置換えます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 9.2.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 9.2.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 9.2.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 9.2.2.3

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 9.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 9.2.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 9.2.2.5.2

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 9.2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 9.2.2.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.7.1

積の法則を $- \frac{3}{4}$ に当てはめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 9.2.2.7.2

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

ステップ 9.2.2.8

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

ステップ 9.2.2.9

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

ステップ 9.2.2.10

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.10.1

共通因数を約分します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

ステップ 9.2.2.10.2

式を書き換えます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

ステップ 9.2.2.11

指数を求めます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 9.2.3

$4$ を $2$ で割ります。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 9.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 9.2.4.2

$- 3$ と $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 9.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.5.1

負をくくり出します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 9.2.5.2

$3$ を $1$ 乗します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 9.2.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 9.2.5.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 9.2.5.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 9.2.5.6

$3$ と $1$ をたし算します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 9.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 9.2.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

ステップ 9.2.8

$2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.8.2

$- 2$ と $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.8.3

負をくくり出します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 4^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.8.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.8.5

${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.8.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})})}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.8.5.2

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{\frac{2}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.8.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.8.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.8.8

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.8.9

$3$ と $2$ をたし算します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.10

最終的な答えは $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ です。

$- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.3

$x = \frac{1}{2}$ で微分係数は $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 1)$ で減少

ステップ 10

区間 $(1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = \frac{4 (2)}{3 {({(2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$4$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = \frac{8}{3 {(2^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 10.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = \frac{8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 10.2.2.2

$4$ から $1$ を引きます。

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 10.2.3

指数を足して $3$ に $3^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1

$3$ に $3^{\frac{1}{3}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 10.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (2) = \frac{8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

ステップ 10.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

ステップ 10.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

ステップ 10.2.3.4

$3$ と $1$ をたし算します。

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 10.2.4

最終的な答えは $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ です。

$\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 10.3

$x = 2$ で微分係数は $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ です。これは正の値なので、関数は $(1, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 11

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 1, 0), (1, \infty)$ で増加

$(- \infty, - 1), (0, 1)$ で減少

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例