微分積分例

$y = {(x + \frac{1}{x})}^{5}$

ステップ 1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x + \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + \frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x + \frac{1}{x}$ で置き換えます。

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (1 - x^{- 2})$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 5

項を並べ替えます。

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (- \frac{1}{x^{2}} + 1)$

微分積分 例