微分積分例

$\tan^{-1} (x^{2} y)$

ステップ 1

$f (x) = \tan^{-1} (x)$ および $g (x) = x^{2} y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\tan^{-1} (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} y$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y (2 x))$

ステップ 2.3

並べ替えます。

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ステップ 2.3.1

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 \cdot y x)$

ステップ 2.3.2

$2 y x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 x y)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $x^{2} y$ に当てはめます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}} (2 x y)$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}} (2 x y)$

ステップ 3.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (2 x y)$

ステップ 3.2.2

$2$ と $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{1 + x^{4} y^{2}} (x y)$

ステップ 3.2.3

$x$ と $\frac{2}{1 + x^{4} y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 2}{1 + x^{4} y^{2}} y$

ステップ 3.2.4

$\frac{x \cdot 2}{1 + x^{4} y^{2}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 2 y}{1 + x^{4} y^{2}}$

ステップ 3.2.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x y}{1 + x^{4} y^{2}}$

ステップ 3.3

項を並べ替えます。

$\frac{2 x y}{x^{4} y^{2} + 1}$

微分積分 例

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