微分積分例

$C x (1 - e^{- k x})$

ステップ 1

$C$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $C x (1 - e^{- k x})$ の微分係数は $C \frac{d}{d x} [x (1 - e^{- k x})]$ です。

$C \frac{d}{d x} [x (1 - e^{- k x})]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 - e^{- k x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$C (x \frac{d}{d x} [1 - e^{- k x}] + (1 - e^{- k x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 - e^{- k x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- k x}]$ です。

$C (x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- k x}]) + (1 - e^{- k x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$C (x (0 + \frac{d}{d x} [- e^{- k x}]) + (1 - e^{- k x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- e^{- k x}]$ をたし算します。

$C (x \frac{d}{d x} [- e^{- k x}] + (1 - e^{- k x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- k x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- k x}]$ です。

$C (x (- \frac{d}{d x} [e^{- k x}]) + (1 - e^{- k x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - k x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- k x$ とします。

$C (x (- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- k x])) + (1 - e^{- k x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$C (x (- (e^{u} \frac{d}{d x} [- k x])) + (1 - e^{- k x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $- k x$ で置き換えます。

$C (x (- (e^{- k x} \frac{d}{d x} [- k x])) + (1 - e^{- k x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$- k$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- k x$ の微分係数は $- k \frac{d}{d x} [x]$ です。

$C (x (- e^{- k x} (- k \frac{d}{d x} [x])) + (1 - e^{- k x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.2

掛け算します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$C (x (1 e^{- k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + (1 - e^{- k x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.2.2

$e^{- k x}$ に $1$ をかけます。

$C (x (e^{- k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + (1 - e^{- k x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$C (x (e^{- k x} (k \cdot 1)) + (1 - e^{- k x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.4

$k$ に $1$ をかけます。

$C (x (e^{- k x} k) + (1 - e^{- k x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$C (x (e^{- k x} k) + (1 - e^{- k x}) \cdot 1)$

ステップ 5.6

$1 - e^{- k x}$ に $1$ をかけます。

$C (x (e^{- k x} k) + 1 - e^{- k x})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$C (x (e^{- k x} k)) + C \cdot 1 + C (- e^{- k x})$

ステップ 6.2

$C$ に $1$ をかけます。

$C x (e^{- k x} k) + C + C (- e^{- k x})$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$C + e^{- k x} C k x - e^{- k x} C$

ステップ 6.4

$C + e^{- k x} C k x - e^{- k x} C$ の因数を並べ替えます。

$C + C k x e^{- k x} - C e^{- k x}$

微分積分 例

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