微分積分例

${(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{4}$

ステップ 1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \frac{3 x - 1}{5 x + 2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{3 x - 1}{5 x + 2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{5 x + 2}]$

ステップ 1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{5 x + 2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{3 x - 1}{5 x + 2}$ で置き換えます。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{5 x + 2}]$

ステップ 2

$f (x) = 3 x - 1$ および $g (x) = 5 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{(5 x + 2) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{(5 x + 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{(5 x + 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{(5 x + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.4

$3$ に $1$ をかけます。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{(5 x + 2) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{(5 x + 2) (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{(5 x + 2) \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$3$ を $5 x + 2$ の左に移動させます。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{3 \cdot (5 x + 2) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.7

総和則では、 $5 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{3 (5 x + 2) - (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.8

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{3 (5 x + 2) - (3 x - 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{3 (5 x + 2) - (3 x - 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.10

$5$ に $1$ をかけます。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{3 (5 x + 2) - (3 x - 1) (5 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.11

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{3 (5 x + 2) - (3 x - 1) (5 + 0)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.12

式を簡約します。

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ステップ 3.12.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{3 (5 x + 2) - (3 x - 1) \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.12.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{3 (5 x + 2) - 5 (3 x - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{3 (5 x) + 3 \cdot 2 - 5 (3 x - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{3 (5 x) + 3 \cdot 2 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$5$ に $3$ をかけます。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{15 x + 3 \cdot 2 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{15 x + 6 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.3

$3$ に $- 5$ をかけます。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{15 x + 6 - 15 x - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.4

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{15 x + 6 - 15 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$15 x + 6 - 15 x + 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.2.1

$15 x$ から $15 x$ を引きます。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{0 + 6 + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{6 + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

$6$ と $5$ をたし算します。

$4 {(\frac{3 x - 1}{5 x + 2})}^{3} \frac{11}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $\frac{3 x - 1}{5 x + 2}$ に当てはめます。

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(5 x + 2)}^{3}} \frac{11}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$4$ と $\frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(5 x + 2)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{4 {(3 x - 1)}^{3}}{{(5 x + 2)}^{3}} \cdot \frac{11}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

$\frac{4 {(3 x - 1)}^{3}}{{(5 x + 2)}^{3}}$ に $\frac{11}{{(5 x + 2)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{4 {(3 x - 1)}^{3} \cdot 11}{{(5 x + 2)}^{3} {(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.3

$11$ に $4$ をかけます。

$\frac{44 {(3 x - 1)}^{3}}{{(5 x + 2)}^{3} {(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.4

指数を足して ${(5 x + 2)}^{3}$ に ${(5 x + 2)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{44 {(3 x - 1)}^{3}}{{(5 x + 2)}^{3 + 2}}$

ステップ 5.2.4.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{44 {(3 x - 1)}^{3}}{{(5 x + 2)}^{5}}$

微分積分 例

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