微分積分例

${(8 z + e^{- z^{2}})}^{4}$

ステップ 1

$f (z) = z^{4}$ および $g (z) = 8 z + e^{- z^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $8 z + e^{- z^{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d z} [8 z + e^{- z^{2}}]$

ステップ 1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d z} [8 z + e^{- z^{2}}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $8 z + e^{- z^{2}}$ で置き換えます。

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} \frac{d}{d z} [8 z + e^{- z^{2}}]$

ステップ 2

総和則では、 $8 z + e^{- z^{2}}$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [8 z] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}]$ です。

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (\frac{d}{d z} [8 z] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

ステップ 3

$\frac{d}{d z} [8 z]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$8$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $8 z$ の微分係数は $8 \frac{d}{d z} [z]$ です。

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

ステップ 3.3

$8$ に $1$ をかけます。

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

ステップ 4

$\frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$f (z) = e^{z}$ および $g (z) = - z^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- z^{2}$ とします。

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

ステップ 4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + e^{u_{2}} \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

ステップ 4.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- z^{2}$ で置き換えます。

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + e^{- z^{2}} \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

ステップ 4.2

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $- z^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ です。

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + e^{- z^{2}} (- \frac{d}{d z} [z^{2}]))$

ステップ 4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + e^{- z^{2}} (- (2 z)))$

ステップ 4.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + e^{- z^{2}} (- 2 z))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項を並べ替えます。

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (- 2 e^{- z^{2}} z + 8)$

ステップ 5.2

$- 2 e^{- z^{2}} z + 8$ の因数を並べ替えます。

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (- 2 z e^{- z^{2}} + 8)$

微分積分 例

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