微分積分例

${(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{3}$

ステップ 1

$f (y) = y^{3}$ および $g (y) = x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ で置き換えます。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

ステップ 2

総和則では、 $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11]$ です。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

ステップ 3

$\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x^{2} y^{3}$ の微分係数は $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ です。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

ステップ 3.3

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

ステップ 4

$3 x z$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3 x z$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

ステップ 5

$\frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

$z^{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y^{2} z^{3}$ の微分係数は $z^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + z^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [11])$

ステップ 5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + z^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [11])$

ステップ 5.3

$2$ を $z^{3}$ の左に移動させます。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + 2 z^{3} y + \frac{d}{d y} [11])$

ステップ 6

$11$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $11$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + 2 z^{3} y + 0)$

ステップ 7

項をまとめます。

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ステップ 7.1

$3 x^{2} y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 2 z^{3} y + 0)$

ステップ 7.2

$3 x^{2} y^{2} + 2 z^{3} y$ と $0$ をたし算します。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 2 z^{3} y)$

微分積分 例

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