微分積分例

$y = \tan^{-1} (\sqrt{4 t})$

ステップ 1

$f (t) = \tan^{-1} (t)$ および $g (t) = \sqrt{4 t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sqrt{4 t}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\tan^{-1} (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sqrt{4 t}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$ を $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$ に書き換えます。

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ステップ 2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2^{2} t}]$

ステップ 2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ と $t^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 12

$2$ と $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2 t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 15

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

項をまとめます。

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ステップ 16.1.1

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ を $\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ に書き換えます。

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ステップ 16.1.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 + {\sqrt{2^{2} t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.1.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.1.2

$2$ を $2 \sqrt{t}$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + {(2 (\sqrt{t}))}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.1.3

積の法則を $2 (\sqrt{t})$ に当てはめます。

$\frac{1}{1 + 2^{2} {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{1 + 4 {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.1.5

${\sqrt{t}}^{2}$ を $t$ に書き換えます。

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ステップ 16.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + 4 t^{1}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.1.5.5

簡約します。

$\frac{1}{1 + 4 t} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.1.6

$\frac{1}{1 + 4 t}$ に $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$

微分積分 例

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