微分積分例

$y = \tan (\sqrt{5 t})$

ステップ 1

$f (t) = \tan (t)$ および $g (t) = \sqrt{5 t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sqrt{5 t}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{5 t}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [\sqrt{5 t}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sqrt{5 t}$ で置き換えます。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{d}{d t} [\sqrt{5 t}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 t}$ を ${(5 t)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{d}{d t} [{(5 t)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.2.1

$5$ を $5 t$ で因数分解します。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{d}{d t} [{(5 (t))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2.2

積の法則を $5 (t)$ に当てはめます。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$5^{\frac{1}{2}}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と $t^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 9

$5^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{5^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\sec^{2} (\sqrt{5 t})$ と $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.2

項を並べ替えます。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (\sqrt{5 t})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例