微分積分例

$t^{3} \log_{2} (e^{t})$

ステップ 1

$f (t) = t^{3}$ および $g (t) = \log_{2} (e^{t})$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t^{3} \frac{d}{d t} [\log_{2} (e^{t})] + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

ステップ 2

$f (t) = \log_{2} (t)$ および $g (t) = e^{t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{t}$ とします。

$t^{3} (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\log_{2} (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \ln (2)}$ です。

$t^{3} (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $e^{t}$ で置き換えます。

$t^{3} (\frac{1}{e^{t} \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

ステップ 3

$\frac{1}{e^{t} \ln (2)}$ と $t^{3}$ をまとめます。

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}] + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)} e^{t} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)}$ と $e^{t}$ をまとめます。

$\frac{t^{3} e^{t}}{e^{t} \ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

ステップ 5.2

$e^{t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{t^{3} e^{t}}{e^{t} \ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

ステップ 5.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) (3 t^{2})$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + 3 t^{2} \log_{2} (e^{t})$

微分積分 例

微分積分例