微分積分例

$\frac{d}{d x} (\frac{a x - 2}{x^{3} - a})$

ステップ 1

この微分係数は連鎖律を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$f (a) = a x - 2$ および $g (a) = x^{3} - a$ のとき、 $\frac{d}{d a} [\frac{f (a)}{g (a)}]$ は $\frac{g (a) \frac{d}{d a} [f (a)] - f (a) \frac{d}{d a} [g (a)]}{{g (a)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} - a) \frac{d}{d a} [a x - 2] - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $a x - 2$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]$ です。

$\frac{(x^{3} - a) (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $a x$ の微分係数は $x \frac{d}{d a} [a]$ です。

$\frac{(x^{3} - a) (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} - a) (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{3} - a) (x + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3.5

$- 2$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{3} - a) (x + 0) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3.6

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3.7

総和則では、 $x^{3} - a$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a]$ です。

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3.8

$x^{3}$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $x^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (0 + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3.9

$0$ と $\frac{d}{d a} [- a]$ をたし算します。

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [- a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3.10

$- 1$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $- a$ の微分係数は $- \frac{d}{d a} [a]$ です。

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (- \frac{d}{d a} [a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3.11

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x^{3} - a) x + 1 (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3.11.2

$a x - 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \cdot 1}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 3.13

$a x - 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{3} - a) x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} x - a x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$x^{3} x - a x + a x - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.1.1

$- a x$ と $a x$ をたし算します。

$\frac{x^{3} x + 0 - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2

$x^{3} x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{3} x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 4.2.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} x^{1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3 + 1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{4} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

微分積分 例

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