微分積分例

$y = e^{2 x}$ , $y = e^{5 x}$ , $x = 1$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$e^{2 x} = e^{5 x}$

ステップ 1.2

$x$ について $e^{2 x} = e^{5 x}$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$2 x = 5 x$

ステップ 1.2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.2.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.2.2.1.1

方程式の両辺から $5 x$ を引きます。

$2 x - 5 x = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$2 x$ から $5 x$ を引きます。

$- 3 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$- 3 x = 0$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$- 3 x = 0$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 1.2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 1.2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{- 3}$

ステップ 1.2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.3.1

$0$ を $- 3$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 1.3

$x = 0$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

$y = e^{5 (0)}$

ステップ 1.3.2

$e^{5 (0)}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

$5$ に $0$ をかけます。

$y = e^{0}$

ステップ 1.3.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$y = 1$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(0, 1)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{0}^{1} e^{5 x} d x - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

ステップ 3

積分し、 $0$ と $1$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - (e^{2 x}) d x$

ステップ 3.2

$- 1$ に $e^{2 x}$ をかけます。

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - e^{2 x} d x$

ステップ 3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} e^{5 x} d x + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

ステップ 3.4

$u_{1} = 5 x$ とします。次に $d u_{1} = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.4.1

$u_{1} = 5 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.4.1.1

$5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 3.4.1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 3.4.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 3.4.2

$u_{1} = 5 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

ステップ 3.4.3

$5$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.4.4

$u_{1} = 5 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

ステップ 3.4.5

$5$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 5$

ステップ 3.4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

ステップ 3.4.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{5} e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

ステップ 3.5

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\int_{0}^{5} \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

ステップ 3.6

$\frac{1}{5}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

ステップ 3.7

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

ステップ 3.8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

ステップ 3.9

$u_{2} = 2 x$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.9.1

$u_{2} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.9.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.9.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 3.9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 3.9.2

$u_{2} = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 3.9.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.9.4

$u_{2} = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

ステップ 3.9.5

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 2$

ステップ 3.9.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

ステップ 3.9.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 3.10

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 3.11

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 3.12

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

ステップ 3.13

代入し簡約します。

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ステップ 3.13.1

$5$ および $0$ で $e^{u_{1}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

ステップ 3.13.2

$2$ および $0$ で $e^{u_{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

ステップ 3.13.3

簡約します。

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ステップ 3.13.3.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1 \cdot 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

ステップ 3.13.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

ステップ 3.13.3.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1)$

ステップ 3.13.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

ステップ 3.14

簡約します。

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ステップ 3.14.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.14.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{5} e^{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

ステップ 3.14.1.2

$\frac{1}{5}$ と $e^{5}$ をまとめます。

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

ステップ 3.14.1.3

$\frac{1}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{- 1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

ステップ 3.14.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

ステップ 3.14.1.5

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 3.14.1.6

$e^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 3.14.1.7

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.14.1.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.14.1.7.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 3.14.2

$- \frac{1}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 3.14.3

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 3.14.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $10$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.14.4.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 3.14.4.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 3.14.4.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.14.4.4

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{10}$

ステップ 3.14.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{- 2 + 5}{10}$

ステップ 3.14.6

$- 2$ と $5$ をたし算します。

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{3}{10}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例