微分積分例

$y = \frac{4}{9} x^{2}$ , $y = \frac{13}{9} - x^{2}$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ について $\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{4}{9} x^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + \frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

ステップ 1.2.1.2

0を加えて簡約します。

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

ステップ 1.2.1.3

$\frac{4}{9}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{2}}{9} = \frac{13}{9} - x^{2}$

ステップ 1.2.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.2.2.1

方程式の両辺に $x^{2}$ を足します。

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} = \frac{13}{9}$

ステップ 1.2.2.2

$x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} \cdot \frac{9}{9} = \frac{13}{9}$

ステップ 1.2.2.3

$x^{2}$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

ステップ 1.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

ステップ 1.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.2.5.1

$9$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{4 x^{2} + 9 \cdot x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

ステップ 1.2.2.5.2

$4 x^{2}$ と $9 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{13 x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

ステップ 1.2.3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$13 x^{2} = 13$

ステップ 1.2.4

$13 x^{2} = 13$ の各項を $13$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$13 x^{2} = 13$ の各項を $13$ で割ります。

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

ステップ 1.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$13$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{13}{13}$

ステップ 1.2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.3.1

$13$ を $13$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 1.2.6

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 1.2.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 1.2.7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 1.3

$x = 1$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$

ステップ 1.3.2

$y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$ の $1$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

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ステップ 1.3.2.1

括弧を削除します。

$y = \frac{13}{9} - 1^{2}$

ステップ 1.3.2.2

$\frac{13}{9} - 1^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{13}{9} - 1$

ステップ 1.3.2.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 1.3.2.2.3

$- 1$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$y = \frac{13}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

ステップ 1.3.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{13 - 1 \cdot 9}{9}$

ステップ 1.3.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.5.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$y = \frac{13 - 9}{9}$

ステップ 1.3.2.2.5.2

$13$ から $9$ を引きます。

$y = \frac{4}{9}$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

ステップ 2

$\frac{4}{9}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{4 x^{2}}{9}$

ステップ 3

$\frac{13}{9}$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$y = - x^{2} + \frac{13}{9}$

ステップ 4

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} d x - \int_{- 1}^{1} \frac{4 x^{2}}{9} d x$

ステップ 5

積分し、 $- 1$ と $1$ の間の面積を求めます。

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ステップ 5.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} - (\frac{4 x^{2}}{9}) d x$

ステップ 5.2

$- x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9} d x$

ステップ 5.3

項を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- x^{2}$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$\frac{- x^{2} \cdot 9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

ステップ 5.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

ステップ 5.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2} + 13}{9}$

ステップ 5.3.4

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 9 x^{2} - 4 x^{2} + 13}{9}$

ステップ 5.3.5

$- 9 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 13 x^{2} + 13}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{- 13 x^{2} + 13}{9} d x$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$13$ を $- 13 x^{2} + 13$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1.1

$13$ を $- 13 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{13 (- x^{2}) + 13}{9}$

ステップ 5.4.1.2

$13$ を $13$ で因数分解します。

$\frac{13 (- x^{2}) + 13 (1)}{9}$

ステップ 5.4.1.3

$13$ を $13 (- x^{2}) + 13 (1)$ で因数分解します。

$\frac{13 (- x^{2} + 1)}{9}$

ステップ 5.4.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{13 (- x^{2} + 1^{2})}{9}$

ステップ 5.4.3

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{13 (1^{2} - x^{2})}{9}$

ステップ 5.4.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9} d x$

ステップ 5.5

$\frac{13}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{13}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} (1 + x) (1 - x) d x$

ステップ 5.6

簡約します。

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ステップ 5.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 (1 - x) + x (1 - x) d x$

ステップ 5.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) d x$

ステップ 5.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) d x$

ステップ 5.6.4

$x$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x) d x$

ステップ 5.6.5

$x$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x d x$

ステップ 5.6.6

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

ステップ 5.6.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

ステップ 5.6.8

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - 1 x \cdot x d x$

ステップ 5.6.9

負をくくり出します。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x \cdot x) d x$

ステップ 5.6.10

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x) d x$

ステップ 5.6.11

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x^{1}) d x$

ステップ 5.6.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{1 + 1} d x$

ステップ 5.6.13

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{2} d x$

ステップ 5.6.14

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 0 - x^{2} d x$

ステップ 5.6.15

$0$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x$

ステップ 5.6.16

$1$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

ステップ 5.7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{13}{9} (\int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

ステップ 5.8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{13}{9} (- \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

ステップ 5.9

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

ステップ 5.10

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

ステップ 5.11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

ステップ 5.12

代入し簡約します。

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ステップ 5.12.1

$1$ および $- 1$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$\frac{13}{9} (- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

ステップ 5.12.2

$1$ および $- 1$ で $x$ の値を求めます。

$\frac{13}{9} (- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

ステップ 5.12.3

簡約します。

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ステップ 5.12.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

ステップ 5.12.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

ステップ 5.12.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

ステップ 5.12.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

ステップ 5.12.3.5

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

ステップ 5.12.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{13}{9} (- \frac{1 + 1}{3} + 1 + 1)$

ステップ 5.12.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 1 + 1)$

ステップ 5.12.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2)$

ステップ 5.12.3.9

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 5.12.3.10

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})$

ステップ 5.12.3.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

ステップ 5.12.3.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.3.12.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 6}{3}$

ステップ 5.12.3.12.2

$- 2$ と $6$ をたし算します。

$\frac{13}{9} \cdot \frac{4}{3}$

ステップ 5.12.3.13

$\frac{13}{9}$ に $\frac{4}{3}$ をかけます。

$\frac{13 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

ステップ 5.12.3.14

$13$ に $4$ をかけます。

$\frac{52}{9 \cdot 3}$

ステップ 5.12.3.15

$9$ に $3$ をかけます。

$\frac{52}{27}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例