微分積分例

$y = \frac{1}{x}$ , $y = \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 2$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ について $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2.1.2

Since $x, x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

ステップ 1.2.1.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

$1$ 各数値の素因数を記入してください。

ステップ 1.2.1.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 1.2.1.5

$1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1 + y = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2.1.6

$x^{1}$ の因数は $x$ そのものです。

$x = x$

ステップ 1.2.1.7

$x^{2}$ の因数は $x \cdot x$ です。これは $x$ を $2$ 倍したものです。

$x^{2} = x \cdot x$

ステップ 1.2.1.8

$x^{1}, x^{2}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x \cdot x + y = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2.1.9

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 1.2.2.3.1.2

式を書き換えます。

$x = 1$

ステップ 1.3

$x = 1$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$ の $1$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

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ステップ 1.3.2.1

括弧を削除します。

$y = \frac{1}{1^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

$\frac{1}{1^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{1}{1}$

ステップ 1.3.2.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$y = 1$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(1, 1)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 3

積分し、 $1$ と $2$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - (\frac{1}{x^{2}}) d x$

ステップ 3.2

$- 1$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 3.6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.6.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 3.6.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 3.6.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

ステップ 3.7

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 3.8

答えを簡約します。

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ステップ 3.8.1

代入し簡約します。

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ステップ 3.8.1.1

$2$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 3.8.1.2

$2$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 3.8.1.3

簡約します。

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ステップ 3.8.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

ステップ 3.8.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1)$

ステップ 3.8.1.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

ステップ 3.8.1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 2}{2}$

ステップ 3.8.1.3.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

ステップ 3.8.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

ステップ 3.8.3

簡約します。

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ステップ 3.8.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

ステップ 3.8.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (\frac{2}{1}) - \frac{1}{2}$

ステップ 3.8.3.3

$2$ を $1$ で割ります。

$\ln (2) - \frac{1}{2}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例