微分積分例

$y = 5 \sqrt[3]{x}$ , $y = 0$ , $x = 1$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$5 \sqrt[3]{x} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $5 \sqrt[3]{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(5 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.2.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

積の法則を $5 x^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$5$ を $3$ 乗します。

$125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.2.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.2.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.2.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$125 x^{1} = 0^{3}$

ステップ 1.2.2.2.1.4

簡約します。

$125 x = 0^{3}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$125 x = 0$

ステップ 1.2.3

$125 x = 0$ の各項を $125$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$125 x = 0$ の各項を $125$ で割ります。

$\frac{125 x}{125} = \frac{0}{125}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$125$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{125 x}{125} = \frac{0}{125}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{125}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$0$ を $125$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 1.3

$0$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(0, 0)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{0}^{1} 5 \sqrt[3]{x} d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

ステップ 3

積分し、 $0$ と $1$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{1} 5 \sqrt[3]{x} - (0) d x$

ステップ 3.2

$5 \sqrt[3]{x}$ から $0$ を引きます。

$\int_{0}^{1} 5 \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 3.4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$5 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

ステップ 3.5

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ です。

$5 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1})$

ステップ 3.6

答えを簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\frac{3}{4}$ と $x^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$5 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{1})$

ステップ 3.6.2

代入し簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

$1$ および $0$ で $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ の値を求めます。

$5 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 3.6.2.2

簡約します。

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ステップ 3.6.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$5 (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 3.6.2.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 3.6.2.2.3

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 3.6.2.2.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

ステップ 3.6.2.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.2.5.1

共通因数を約分します。

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

ステップ 3.6.2.2.5.2

式を書き換えます。

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4})$

ステップ 3.6.2.2.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0}{4})$

ステップ 3.6.2.2.7

$3$ に $0$ をかけます。

$5 (\frac{3}{4} - \frac{0}{4})$

ステップ 3.6.2.2.8

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.2.8.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$5 (\frac{3}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

ステップ 3.6.2.2.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.2.8.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$5 (\frac{3}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

ステップ 3.6.2.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$5 (\frac{3}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

ステップ 3.6.2.2.8.2.3

式を書き換えます。

$5 (\frac{3}{4} - \frac{0}{1})$

ステップ 3.6.2.2.8.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$5 (\frac{3}{4} - 0)$

ステップ 3.6.2.2.9

$- 1$ に $0$ をかけます。

$5 (\frac{3}{4} + 0)$

ステップ 3.6.2.2.10

$\frac{3}{4}$ と $0$ をたし算します。

$5 (\frac{3}{4})$

ステップ 3.6.2.2.11

$5$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 3}{4}$

ステップ 3.6.2.2.12

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{15}{4}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例