微分積分例

$y = 8$ , $y = \sqrt{x}$ , $x = 0$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$8 = \sqrt{x}$

ステップ 1.2

$x$ について $8 = \sqrt{x}$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式を $\sqrt{x} = 8$ として書き換えます。

$\sqrt{x} = 8$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x}}^{2} = 8^{2}$

ステップ 1.2.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8^{2}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 8^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

簡約します。

$x = 8^{2}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$8$ を $2$ 乗します。

$x = 64$

ステップ 1.3

$x = 64$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$64$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt{64}$

ステップ 1.3.2

$\sqrt{64}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

括弧を削除します。

$y = \sqrt{64}$

ステップ 1.3.2.2

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{8^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = 8$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(64, 8)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{0}^{64} 8 d x - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

ステップ 3

積分し、 $0$ と $64$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分し、 $0$ と $64$ の間の面積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - (8) d x$

ステップ 3.1.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - 8 d x$

ステップ 3.1.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

ステップ 3.1.4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

ステップ 3.1.5

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - 8 d x$

ステップ 3.1.6

定数の法則を当てはめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + - 8 x]_{0}^{64}$

ステップ 3.1.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.1

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$ と $- 8 x]_{0}^{64}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x]_{0}^{64}$

ステップ 3.1.7.2

代入し簡約します。

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ステップ 3.1.7.2.1

$64$ および $0$ で $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ の値を求めます。

$(\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64) - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2

簡約します。

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ステップ 3.1.7.2.2.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.4

$8$ を $3$ 乗します。

$\frac{2}{3} \cdot 512 - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.5

$\frac{2}{3}$ と $512$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 512}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.6

$2$ に $512$ をかけます。

$\frac{1024}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.7

$- 8$ に $64$ をかけます。

$\frac{1024}{3} - 512 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.8

$- 512$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1024}{3} - 512 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.9

$- 512$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1024}{3} + \frac{- 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1024 - 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.2.2.11.1

$- 512$ に $3$ をかけます。

$\frac{1024 - 1536}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.11.2

$1024$ から $1536$ を引きます。

$\frac{- 512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.13

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.14

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.15

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.7.2.2.15.1

共通因数を約分します。

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.15.2

式を書き換えます。

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.16

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0 - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.17

$\frac{2}{3}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{512}{3} - (0 - 8 \cdot 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.18

$- 8$ に $0$ をかけます。

$- \frac{512}{3} - (0 + 0)$

ステップ 3.1.7.2.2.19

$0$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{512}{3} - 0$

ステップ 3.1.7.2.2.20

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{512}{3} + 0$

ステップ 3.1.7.2.2.21

$- \frac{512}{3}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{512}{3}$

ステップ 3.2

積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{64} 8 - (\sqrt{x}) d x$

ステップ 3.3

$- 1$ に $\sqrt{x}$ をかけます。

$\int_{0}^{64} 8 - \sqrt{x} d x$

ステップ 3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{64} 8 d x + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

ステップ 3.5

定数の法則を当てはめます。

$8 x]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

ステップ 3.7

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 3.8

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64})$

ステップ 3.9

答えを簡約します。

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ステップ 3.9.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

ステップ 3.9.2

代入し簡約します。

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ステップ 3.9.2.1

$64$ および $0$ で $8 x$ の値を求めます。

$(8 \cdot 64) - 8 \cdot 0 - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

ステップ 3.9.2.2

$64$ および $0$ で $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ の値を求めます。

$8 \cdot 64 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 3.9.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.3.1

$8$ に $64$ をかけます。

$512 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 3.9.2.3.2

$- 8$ に $0$ をかけます。

$512 + 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 3.9.2.3.3

$512$ と $0$ をたし算します。

$512 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 3.9.2.3.4

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$512 - (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 3.9.2.3.5

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 3.9.2.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.3.6.1

共通因数を約分します。

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 3.9.2.3.6.2

式を書き換えます。

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 3.9.2.3.7

$8$ を $3$ 乗します。

$512 - (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 3.9.2.3.8

$2$ に $512$ をかけます。

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 3.9.2.3.9

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 3.9.2.3.10

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

ステップ 3.9.2.3.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.3.11.1

共通因数を約分します。

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

ステップ 3.9.2.3.11.2

式を書き換えます。

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

ステップ 3.9.2.3.12

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

ステップ 3.9.2.3.13

$2$ に $0$ をかけます。

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{3})$

ステップ 3.9.2.3.14

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.3.14.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

ステップ 3.9.2.3.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.3.14.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

ステップ 3.9.2.3.14.2.2

共通因数を約分します。

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

ステップ 3.9.2.3.14.2.3

式を書き換えます。

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{1})$

ステップ 3.9.2.3.14.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$512 - (\frac{1024}{3} - 0)$

ステップ 3.9.2.3.15

$- 1$ に $0$ をかけます。

$512 - (\frac{1024}{3} + 0)$

ステップ 3.9.2.3.16

$\frac{1024}{3}$ と $0$ をたし算します。

$512 - \frac{1024}{3}$

ステップ 3.9.2.3.17

$512$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$512 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1024}{3}$

ステップ 3.9.2.3.18

$512$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{512 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3}$

ステップ 3.9.2.3.19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{512 \cdot 3 - 1024}{3}$

ステップ 3.9.2.3.20

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.3.20.1

$512$ に $3$ をかけます。

$\frac{1536 - 1024}{3}$

ステップ 3.9.2.3.20.2

$1536$ から $1024$ を引きます。

$\frac{512}{3}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例