微分積分例

$\frac{x^{2} + 64}{x}$

ステップ 1

$\frac{x^{2} + 64}{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = x^{2} + 64$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 64$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.3

$64$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $64$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.9.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.9.2.1

$- 1$ に $64$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.9.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.9.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.9.3.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

ステップ 2.1.1.9.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 8$ です。

$f' (x) = \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$f (x) = (x + 8) (x - 8)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.3

$f (x) = x + 8$ および $g (x) = x - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} ((x + 8) \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

総和則では、 $x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{x^{2} ((x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.3

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} ((x + 8) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.4.2

$x + 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.5

総和則では、 $x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.7

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + 0)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \cdot 1) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.8.2

$x - 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (x + 8 + x - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (2 x + 8 - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.8.4

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.8.4.1

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.8.4.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (2 x) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.6

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot x^{3} - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{3} - (x + 8) (x - 8) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 (x + 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.2.1.1

$- 2$ に $8$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 16) (x - 8) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x - 16) (x - 8)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 8) - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.2.1.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.2.1.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.3.1.2

$- 8$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.3.1.3

$- 16$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x + 128) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.3.2

$16 x$ から $16 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 128) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.3.3

$- 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 128) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 128 x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.2.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.2.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 128 x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.1.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 128 x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.2

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{0 + 128 x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.2.3

$0$ と $128 x$ をたし算します。

$\frac{128 x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.3

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.3.1

$x$ を $128 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 128}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.3.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.1.2.9.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.1.2.9.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{128}{x^{3}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{128}{x^{3}}$ です。

$\frac{128}{x^{3}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{128}{x^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{128}{x^{3}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$128 = 0$

ステップ 2.2.3

$128 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

$f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{x^{2} + 64}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = \frac{128}{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{128}{- 8}$

ステップ 5.2.2

$128$ を $- 8$ で割ります。

$f'' (- 2) = - 16$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 16$ です。

$- 16$

ステップ 5.3

$f'' (- 2)$ が負なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = \frac{128}{{(2)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{128}{8}$

ステップ 6.2.2

$128$ を $8$ で割ります。

$f'' (2) = 16$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $16$ です。

$16$

ステップ 6.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例