微分積分例

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x}$

ステップ 1

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = (x^{2} - 12 x + 37) e^{x}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = x^{2} - 12 x + 37$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} - 12 x + 37) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 37]$

ステップ 2.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 37]$

ステップ 2.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

総和則では、 $x^{2} - 12 x + 37$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [37]$ です。

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [37])$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [37])$

ステップ 2.1.1.3.3

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [37])$

ステップ 2.1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [37])$

ステップ 2.1.1.3.5

$- 12$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [37])$

ステップ 2.1.1.3.6

$37$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $37$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (2 x - 12 + 0)$

ステップ 2.1.1.3.7

$2 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (2 x - 12)$

ステップ 2.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 37 e^{x} + e^{x} (2 x - 12)$

ステップ 2.1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 37 e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 12$

ステップ 2.1.1.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.3.1

$- 12$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 37 e^{x} + e^{x} (2 x) - 12 \cdot e^{x}$

ステップ 2.1.1.4.3.2

$- 12 x e^{x}$ と $e^{x} (2 x)$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.3.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 2 x e^{x} + 37 e^{x} - 12 e^{x}$

ステップ 2.1.1.4.3.2.2

$- 12 x e^{x}$ と $2 x e^{x}$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 37 e^{x} - 12 e^{x}$

ステップ 2.1.1.4.3.3

$37 e^{x}$ から $12 e^{x}$ を引きます。

$x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 25 e^{x}$

ステップ 2.1.1.4.4

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} - 10 e^{x} x + 25 e^{x}$

ステップ 2.1.1.4.5

$e^{x} x^{2} - 10 e^{x} x + 25 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 25 e^{x}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 25 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

ステップ 2.1.2.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 10 x e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x e^{x}$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

ステップ 2.1.2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

ステップ 2.1.2.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

ステップ 2.1.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

ステップ 2.1.2.3.5

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{d}{d x} [25 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$25$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $25 e^{x}$ の微分係数は $25 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x e^{x} + e^{x}) + 25 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.1.2.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x e^{x} + e^{x}) + 25 e^{x}$

ステップ 2.1.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x e^{x}) - 10 e^{x} + 25 e^{x}$

ステップ 2.1.2.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.2.1

$e^{x} (2 x)$ から $10 x e^{x}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.2.1.1

$e^{x}$ を移動させます。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 10 x e^{x} - 10 e^{x} + 25 e^{x}$

ステップ 2.1.2.5.2.1.2

$2 x e^{x}$ から $10 x e^{x}$ を引きます。

$x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} - 10 e^{x} + 25 e^{x}$

ステップ 2.1.2.5.2.2

$- 10 e^{x}$ と $25 e^{x}$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x}$

ステップ 2.1.2.5.3

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} - 8 e^{x} x + 15 e^{x}$

ステップ 2.1.2.5.4

$e^{x} x^{2} - 8 e^{x} x + 15 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x}$ です。

$x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x} = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} - 8 x e^{x} + 15 e^{x} = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

$e^{x}$ を $- 8 x e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 8 x) + 15 e^{x} = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

$e^{x}$ を $15 e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 8 x) + e^{x} \cdot 15 = 0$

ステップ 2.2.2.1.4

$e^{x}$ を $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 8 x)$ で因数分解します。

$e^{x} (x^{2} - 8 x) + e^{x} \cdot 15 = 0$

ステップ 2.2.2.1.5

$e^{x}$ を $e^{x} (x^{2} - 8 x) + e^{x} \cdot 15$ で因数分解します。

$e^{x} (x^{2} - 8 x + 15) = 0$

ステップ 2.2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 8 x + 15$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $15$ で、その和が $- 8$ です。

$- 5, - 3$

ステップ 2.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$e^{x} ((x - 5) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$e^{x} (x - 5) (x - 3) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.2.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 2.2.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.2.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.2.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.2.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.2.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.2.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.2.7

最終解は $e^{x} (x - 5) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, 3$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 3) \cup (3, 5) \cup (5, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 3)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = {(0)}^{2} e^{0} - 8 \cdot 0 \cdot e^{0} + 15 e^{0}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 0 e^{0} - 8 \cdot 0 \cdot e^{0} + 15 e^{0}$

ステップ 5.2.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 8 \cdot 0 \cdot e^{0} + 15 e^{0}$

ステップ 5.2.1.3

$0$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 8 \cdot 0 \cdot e^{0} + 15 e^{0}$

ステップ 5.2.1.4

$- 8$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 \cdot e^{0} + 15 e^{0}$

ステップ 5.2.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 + 0 \cdot 1 + 15 e^{0}$

ステップ 5.2.1.6

$0$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 + 15 e^{0}$

ステップ 5.2.1.7

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 + 0 + 15 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.8

$15$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 + 15$

ステップ 5.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 + 15$

ステップ 5.2.2.2

$0$ と $15$ をたし算します。

$f'' (0) = 15$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $15$ です。

$15$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, 3)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 3)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(3, 5)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = {(4)}^{2} e^{4} - 8 \cdot 4 \cdot e^{4} + 15 e^{4}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = 16 e^{4} - 8 \cdot 4 \cdot e^{4} + 15 e^{4}$

ステップ 6.2.1.2

$- 8$ に $4$ をかけます。

$f'' (4) = 16 e^{4} - 32 e^{4} + 15 e^{4}$

ステップ 6.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$16 e^{4}$ から $32 e^{4}$ を引きます。

$f'' (4) = - 16 e^{4} + 15 e^{4}$

ステップ 6.2.2.2

$- 16 e^{4}$ と $15 e^{4}$ をたし算します。

$f'' (4) = - e^{4}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- e^{4}$ です。

$- e^{4}$

ステップ 6.3

$f'' (4)$ が負なので、区間 $(3, 5)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(3, 5)$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(5, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f'' (8) = {(8)}^{2} e^{8} - 8 \cdot 8 \cdot e^{8} + 15 e^{8}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$f'' (8) = 64 e^{8} - 8 \cdot 8 \cdot e^{8} + 15 e^{8}$

ステップ 7.2.1.2

$- 8$ に $8$ をかけます。

$f'' (8) = 64 e^{8} - 64 e^{8} + 15 e^{8}$

ステップ 7.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$64 e^{8}$ から $64 e^{8}$ を引きます。

$f'' (8) = 0 + 15 e^{8}$

ステップ 7.2.2.2

$0$ と $15 e^{8}$ をたし算します。

$f'' (8) = 15 e^{8}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $15 e^{8}$ です。

$15 e^{8}$

ステップ 7.3

$f'' (8)$ が正なので、区間 $(5, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(5, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 3)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(3, 5)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(5, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例