微分積分例

$y = x (16 x^{- 2} + 2)$ ; $x = - 2$

ステップ 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

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ステップ 1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$y = (- 2) (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

$- 2$ に $16 {(- 2)}^{- 2} + 2$ をかけます。

$y = - 2 (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$

ステップ 1.2.2

$- 2 (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y = - 2 (16 \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + 2)$

ステップ 1.2.2.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y = - 2 (16 (\frac{1}{4}) + 2)$

ステップ 1.2.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1.3.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$y = - 2 (4 (4) \frac{1}{4} + 2)$

ステップ 1.2.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$y = - 2 (4 \cdot 4 \frac{1}{4} + 2)$

ステップ 1.2.2.1.3.3

式を書き換えます。

$y = - 2 (4 + 2)$

ステップ 1.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$4$ と $2$ をたし算します。

$y = - 2 \cdot 6$

ステップ 1.2.2.2.2

$- 2$ に $6$ をかけます。

$y = - 12$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = - 2$ と $y = - 12$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = 16 x^{- 2} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [16 x^{- 2} + 2] + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $16 x^{- 2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$x (\frac{d}{d x} [16 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.2

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{- 2}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ です。

$x (16 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (16 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.4

$- 2$ に $16$ をかけます。

$x (- 32 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$x (- 32 x^{- 3} + 0) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.6

$- 32 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$x (- 32 x^{- 3}) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- 32 (x^{1} x^{- 3}) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 32 x^{1 - 3} + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5

$1$ から $3$ を引きます。

$- 32 x^{- 2} + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 32 x^{- 2} + (16 x^{- 2} + 2) \cdot 1$

ステップ 2.7

項を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$16 x^{- 2} + 2$ に $1$ をかけます。

$- 32 x^{- 2} + 16 x^{- 2} + 2$

ステップ 2.7.2

$- 32 x^{- 2}$ と $16 x^{- 2}$ をたし算します。

$- 16 x^{- 2} + 2$

ステップ 2.7.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.7.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 16 \frac{1}{x^{2}} + 2$

ステップ 2.7.3.2

$- 16$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 16}{x^{2}} + 2$

ステップ 2.7.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16}{x^{2}} + 2$

ステップ 2.8

$x = - 2$ で微分係数を求めます。

$- \frac{16}{{(- 2)}^{2}} + 2$

ステップ 2.9

簡約します。

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ステップ 2.9.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.9.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{16}{4} + 2$

ステップ 2.9.1.2

$16$ を $4$ で割ります。

$- 1 \cdot 4 + 2$

ステップ 2.9.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 + 2$

ステップ 2.9.2

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$- 2$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- 2$ と与えられた点 $(- 2, - 12)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 12) = - 2 \cdot (x - (- 2))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 12 = - 2 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- 2 \cdot (x + 2)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y + 12 = 0 + 0 - 2 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 12 = - 2 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 12 = - 2 x - 2 \cdot 2$

ステップ 3.3.1.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$y + 12 = - 2 x - 4$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$y = - 2 x - 4 - 12$

ステップ 3.3.2.2

$- 4$ から $12$ を引きます。

$y = - 2 x - 16$

ステップ 4

微分積分 例

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