微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x - 4$ , $a = - 1$

ステップ 1

$a$ で線形化を求めるために使用する関数を考えます。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

ステップ 2

$a = - 1$ の値を線形化関数に代入します。

$L (x) = f (- 1) + f' (- 1) (x - - 1)$

ステップ 3

$f (- 1)$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 4$

ステップ 3.2

$2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 4$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

括弧を削除します。

$2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 4$

ステップ 3.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 - 4$

ステップ 3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 - 3 \cdot - 1 - 4$

ステップ 3.2.2.3

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 + 3 - 4$

ステップ 3.2.3

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$1 - 4$

ステップ 3.2.3.2

$1$ から $4$ を引きます。

$- 3$

ステップ 4

微分係数を求め、 $- 1$ で値を求めます。

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ステップ 4.1

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x - 4$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $2 x^{3} - 3 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{2} - 3 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$6 x^{2} - 3$ と $0$ をたし算します。

$6 x^{2} - 3$

ステップ 4.2

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$6 {(- 1)}^{2} - 3$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$6 \cdot 1 - 3$

ステップ 4.3.1.2

$6$ に $1$ をかけます。

$6 - 3$

ステップ 4.3.2

$6$ から $3$ を引きます。

$3$

ステップ 5

成分を線形化関数に代入し、 $a$ における線形化を求めます。

$L (x) = - 3 + 3 (x - - 1)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$L (x) = - 3 + 3 x + 3 \cdot 1$

ステップ 6.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$L (x) = - 3 + 3 x + 3$

ステップ 6.2

$- 3 + 3 x + 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.2.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$L (x) = 3 x + 0$

ステップ 6.2.2

$3 x$ と $0$ をたし算します。

$L (x) = 3 x$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例