微分積分例

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ , $[0, 2]$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

両辺から $\frac{e^{- x}}{2}$ を引いて $\frac{e^{- x}}{2}$ を方程式の右辺に移動させます。

$\frac{e^{x}}{2} = - \frac{e^{- x}}{2}$

ステップ 1.2.2

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$e^{x} = - e^{- x}$

ステップ 1.2.3

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

解がありません

ステップ 2

$\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ を簡約します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{2}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

ステップ 2.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{- x}$ をまとめます。

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

ステップ 3

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

ステップ 4

積分し、 $0$ と $2$ の間の面積を求めます。

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ステップ 4.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - (0) d x$

ステップ 4.2

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$ から $0$ を引きます。

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x$

ステップ 4.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

ステップ 4.4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

ステップ 4.5

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

ステップ 4.6

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

ステップ 4.7

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.7.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.7.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.7.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.7.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.7.2

$u = - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 4.7.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.7.4

$u = - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

ステップ 4.7.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = - 2$

ステップ 4.7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

ステップ 4.7.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

ステップ 4.8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

ステップ 4.9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

ステップ 4.10

$\frac{1}{2}$ と $e^{u}]_{0}^{- 2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

ステップ 4.11

代入し簡約します。

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ステップ 4.11.1

$2$ および $0$ で $e^{x}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

ステップ 4.11.2

$- 2$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

ステップ 4.11.3

簡約します。

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ステップ 4.11.3.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

ステップ 4.11.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

ステップ 4.11.3.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1 \cdot 1}{2}$

ステップ 4.11.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

ステップ 4.11.3.5

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

ステップ 4.11.3.6

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

ステップ 4.11.3.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

ステップ 4.11.3.8

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

ステップ 4.11.3.9

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.11.3.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

ステップ 4.11.3.9.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

ステップ 4.11.3.10

$e^{2} - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

ステップ 5

面積 $\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$ をたし算します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{e^{2} - 1 - (\frac{1}{e^{2}} - 1)}{2}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} - - 1}{2}$

ステップ 5.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} + 1}{2}$

ステップ 5.1.4

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}} + 0}{2}$

ステップ 5.1.5

$e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}}}{2}$

ステップ 5.1.6

因数分解した形で $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ を書き換えます。

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ステップ 5.1.6.1

$\frac{1}{e^{2}}$ を ${(\frac{1}{e})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{e^{2} - {(\frac{1}{e})}^{2}}{2}$

ステップ 5.1.6.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e$ であり、 $b = \frac{1}{e}$ です。

$\frac{(e + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

ステップ 5.1.7

$e$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e}{e}$ を掛けます。

$\frac{(\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

ステップ 5.1.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{e e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

ステップ 5.1.9

$e e$ を掛けます。

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ステップ 5.1.9.1

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{e^{1} e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

ステップ 5.1.9.2

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

ステップ 5.1.9.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

ステップ 5.1.9.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

ステップ 5.1.10

$e$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e}{e}$ を掛けます。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{e e}{e} - \frac{1}{e})}{2}$

ステップ 5.1.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e e - 1}{e}}{2}$

ステップ 5.1.12

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.12.1

$e e$ を掛けます。

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ステップ 5.1.12.1.1

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e - 1}{e}}{2}$

ステップ 5.1.12.1.2

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{2}$

ステップ 5.1.12.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{2}$

ステップ 5.1.12.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1}{e}}{2}$

ステップ 5.1.12.2

因数分解した形で $e^{2} - 1$ を書き換えます。

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ステップ 5.1.12.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{2}$

ステップ 5.1.12.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{2}$

ステップ 5.2

$\frac{e^{2} + 1}{e}$ に $\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}$ をかけます。

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) ((e + 1) (e - 1))}{e e}}{2}$

ステップ 5.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e}}{2}$

ステップ 5.3.2

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e^{1}}}{2}$

ステップ 5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1 + 1}}}{2}$

ステップ 5.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}}{2}$

ステップ 5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.5

まとめる。

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

ステップ 5.6

式を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$e^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2} \cdot 2}$

ステップ 5.6.2

$2$ を $e^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{2 e^{2}}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例