微分積分例

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

ステップ 1

式 $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

ステップ 2.1.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

ステップ 2.1.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 2.1.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 2.1.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 2.1.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 2.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 2.3

極限を求めます。

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ステップ 2.3.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{1}$

ステップ 2.3.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$\sqrt{1 + 0}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{1 + 0}$

ステップ 2.3.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{1}$

ステップ 2.3.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$1$

ステップ 3

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

ステップ 3.1.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

ステップ 3.1.3

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

ステップ 3.1.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

ステップ 3.1.5

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

ステップ 3.1.6

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

ステップ 3.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

ステップ 3.3

極限を求めます。

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ステップ 3.3.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{1}$

ステップ 3.3.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- \sqrt{1 + 0}$ を $1$ で割ります。

$- \sqrt{1 + 0}$

ステップ 3.3.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \sqrt{1}$

ステップ 3.3.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = 1, - 1$

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。これはラジカルを含む式なので、多項式の割り算はできません。

斜めの漸近線を求められません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線： $y = 1, - 1$

斜めの漸近線を求められません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例