微分積分例

$y = - 8 x + e^{x}$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = - 8 x + e^{x}$

ステップ 2

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- 8 x + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 8 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 8 + e^{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 8 + e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$e^{x} = 8$

ステップ 3.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

ステップ 3.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (8)$

ステップ 3.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (8)$

ステップ 3.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (8)$

ステップ 4

$x = \ln (8)$ における元の関数 $f (x) = - 8 x + e^{x}$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\ln (8)$ で置換えます。

$f (\ln (8)) = - 8 \ln (8) + e^{\ln (8)}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

対数の中の $8$ を移動させて $- 8 \ln (8)$ を簡約します。

$f (\ln (8)) = - \ln (8^{8}) + e^{\ln (8)}$

ステップ 4.2.1.2

$8$ を $8$ 乗します。

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + e^{\ln (8)}$

ステップ 4.2.1.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + 8$

ステップ 4.2.2

最終的な答えは $- \ln (16777216) + 8$ です。

$- \ln (16777216) + 8$

ステップ 5

関数 $f (x) = - 8 x + e^{x}$ の水平接線は $y = - \ln (16777216) + 8$ です。

$y = - \ln (16777216) + 8$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例