微分積分例

$y = 3 \sin (π x + y)$ , $(1, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin (π x + y))$

ステップ 1.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \sin (π x + y)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = π x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $π x + y$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x + y])$

ステップ 1.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x + y])$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $π x + y$ で置き換えます。

$3 (\cos (π x + y) \frac{d}{d x} [π x + y])$

ステップ 1.3.3

微分します。

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ステップ 1.3.3.1

総和則では、 $π x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$3 \cos (π x + y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.3.3.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \cos (π x + y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cos (π x + y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.3.3.4

$π$ に $1$ をかけます。

$3 \cos (π x + y) (π + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 \cos (π x + y) (π + y')$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 3 \cos (π x + y) (π + y')$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$3 \cos (π x + y) (π + y')$ を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y' = 3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$

ステップ 1.5.1.1.2

$3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$ の因数を並べ替えます。

$y' = 3 π \cos (π x + y) + 3 y' \cos (π x + y)$

ステップ 1.5.2

方程式の両辺から $3 y' \cos (π x + y)$ を引きます。

$y' - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

ステップ 1.5.3

$y'$ を $y' - 3 y' \cos (π x + y)$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.3.1

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

ステップ 1.5.3.2

$y'$ を $- 3 y' \cos (π x + y)$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

ステップ 1.5.3.3

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y))$ で因数分解します。

$y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

ステップ 1.5.4

$y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ の各項を $1 - 3 \cos (π x + y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.4.1

$y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ の各項を $1 - 3 \cos (π x + y)$ で割ります。

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

ステップ 1.5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1

$1 - 3 \cos (π x + y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

ステップ 1.7

$y = 0$ と $x = 1$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$\frac{3 π \cos (π (1) + y)}{1 - 3 \cos (π (1) + y)}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $0$ で置換えます。

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

ステップ 1.7.3

括弧を削除します。

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

ステップ 1.7.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.4.1

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 π \cos (π + 0)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

ステップ 1.7.4.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 π \cos (π)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

ステップ 1.7.4.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{3 π (- \cos (0))}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

ステップ 1.7.4.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{3 π (- 1 \cdot 1)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

ステップ 1.7.4.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 π \cdot - 1}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

ステップ 1.7.4.6

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

ステップ 1.7.5

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.5.1

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π + 0)}$

ステップ 1.7.5.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π)}$

ステップ 1.7.5.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- \cos (0))}$

ステップ 1.7.5.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- 1 \cdot 1)}$

ステップ 1.7.5.5

$- 3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 1.7.5.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cdot - 1}$

ステップ 1.7.5.5.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3 π}{1 + 3}$

ステップ 1.7.5.6

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 3 π}{4}$

ステップ 1.7.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 π}{4}$

ステップ 2

法線は接線に垂直な直線です。接線の傾きの負の逆数をとり、法線の傾きを求めます。

$\frac{4}{3 π}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{4}{3 π}$ と与えられた点 $(1, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = \frac{4}{3 π} \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.2

$\frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{4}{3 π} x + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

ステップ 3.3.2.2

$\frac{4}{3 π}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

ステップ 3.3.2.3

$\frac{4}{3 π} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.3.1

$\frac{4}{3 π}$ と $- 1$ をまとめます。

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4 \cdot - 1}{3 π}$

ステップ 3.3.2.3.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{- 4}{3 π}$

ステップ 3.3.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{4 x}{3 π} - \frac{4}{3 π}$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{4}{3 π} x - \frac{4}{3 π}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例