微分積分例

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} ((x + 2) (x + 2))]$

ステップ 1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x (x + 2) + 2 (x + 2))]$

ステップ 1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))]$

ステップ 1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

ステップ 1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

ステップ 1.1.3.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)]$

ステップ 1.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)]$

ステップ 1.1.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 4 x + 4)]$

ステップ 1.1.4

$f (x) = {(x + 1)}^{3}$ および $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

ステップ 1.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

総和則では、 $x^{2} + 4 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

${(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

ステップ 1.1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(x + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

ステップ 1.1.5.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

ステップ 1.1.5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

ステップ 1.1.5.5

$4$ に $1$ をかけます。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

ステップ 1.1.5.6

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + 0) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

ステップ 1.1.5.7

$2 x + 4$ と $0$ をたし算します。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

ステップ 1.1.6

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 1.1.6.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 1.1.6.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 1.1.7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$3$ を $x^{2} + 4 x + 4$ の左に移動させます。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 \cdot (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.1.7.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.1.7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.1.7.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + 0)$

ステップ 1.1.7.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \cdot 1$

ステップ 1.1.7.5.2

$3$ に $1$ をかけます。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 1.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

分配則を当てはめます。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 1.1.8.2

$4$ に $3$ をかけます。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 1.1.8.3

$3$ に $4$ をかけます。

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 1.1.8.4

${(x + 1)}^{2}$ を ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.1

${(x + 1)}^{2}$ を ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4)$ で因数分解します。

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 1.1.8.4.2

${(x + 1)}^{2}$ を $(3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.4.3

${(x + 1)}^{2}$ を ${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$ で因数分解します。

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.5

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$(x + 1) (x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.6.1

分配則を当てはめます。

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.6.2

分配則を当てはめます。

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.6.3

分配則を当てはめます。

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.7.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.7.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.7.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + x + x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.7.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$(x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.8.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (2 x + 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.8.1.1

分配則を当てはめます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x + 4) + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.8.1.2

分配則を当てはめます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.8.1.3

分配則を当てはめます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.8.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.8.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.8.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.8.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.8.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.8.2.1.3

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.8.2.1.4

$2 x$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.8.2.1.5

$4$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.8.2.2

$4 x$ と $2 x$ をたし算します。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 6 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.9

$2 x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 6 x + 4 + 12 x + 12)$

ステップ 1.1.8.10

$6 x$ と $12 x$ をたし算します。

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 4 + 12)$

ステップ 1.1.8.11

$4$ と $12$ をたし算します。

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$

ステップ 1.1.8.12

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$ を展開します。

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.13.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.13.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 x^{2 + 2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$5 x^{4} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x^{4} + 18 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.13.4.1

$x$ を移動させます。

$5 x^{4} + 18 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.13.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$5 x^{4} + 18 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 x^{4} + 18 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.5

$16$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.7

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.13.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.7.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.13.7.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x^{1}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{2 + 1} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.7.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.8

$2$ に $5$ をかけます。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x \cdot x + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.10

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.13.10.1

$x$ を移動させます。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 (x \cdot x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.10.2

$x$ に $x$ をかけます。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.11

$2$ に $18$ をかけます。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.12

$16$ に $2$ をかけます。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.13

$5 x^{2}$ に $1$ をかけます。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.14

$18 x$ に $1$ をかけます。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 1 \cdot 16$

ステップ 1.1.8.13.15

$16$ に $1$ をかけます。

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

ステップ 1.1.8.14

$18 x^{3}$ と $10 x^{3}$ をたし算します。

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

ステップ 1.1.8.15

$16 x^{2}$ と $36 x^{2}$ をたし算します。

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 52 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

ステップ 1.1.8.16

$52 x^{2}$ と $5 x^{2}$ をたし算します。

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 32 x + 18 x + 16$

ステップ 1.1.8.17

$32 x$ と $18 x$ をたし算します。

$f' (x) = 5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$28$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $28 x^{3}$ の微分係数は $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$20 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.3.3

$3$ に $28$ をかけます。

$20 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.4

$\frac{d}{d x} [57 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$57$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $57 x^{2}$ の微分係数は $57 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 (2 x) + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.4.3

$2$ に $57$ をかけます。

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.5

$\frac{d}{d x} [50 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$50$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $50 x$ の微分係数は $50 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.5.3

$50$ に $1$ をかけます。

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.6

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + 0$

ステップ 1.2.6.2

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ です。

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ を $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$2$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (10 x^{3}) + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$2$ を $84 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 114 x + 50 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$2$ を $114 x$ で因数分解します。

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 50 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$2$ を $50$ で因数分解します。

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$2$ を $2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2})$ で因数分解します。

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

ステップ 2.2.1.6

$2$ を $2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x)$ で因数分解します。

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25) = 0$

ステップ 2.2.1.7

$2$ を $2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25)$ で因数分解します。

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

有理根検定を用いて $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

ステップ 2.2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 25, \pm 2.5, \pm 12.5, \pm 5$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

$10 {(- 1)}^{3} + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

ステップ 2.2.2.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$10 \cdot - 1 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

ステップ 2.2.2.1.3.3

$10$ に $- 1$ をかけます。

$- 10 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

ステップ 2.2.2.1.3.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 10 + 42 \cdot 1 + 57 \cdot - 1 + 25$

ステップ 2.2.2.1.3.5

$42$ に $1$ をかけます。

$- 10 + 42 + 57 \cdot - 1 + 25$

ステップ 2.2.2.1.3.6

$- 10$ と $42$ をたし算します。

$32 + 57 \cdot - 1 + 25$

ステップ 2.2.2.1.3.7

$57$ に $- 1$ をかけます。

$32 - 57 + 25$

ステップ 2.2.2.1.3.8

$32$ から $57$ を引きます。

$- 25 + 25$

ステップ 2.2.2.1.3.9

$- 25$ と $25$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25}{x + 1}$

ステップ 2.2.2.1.5

$10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ を $x + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$42 x^{2}$

$57 x$

$25$

ステップ 2.2.2.1.5.2

被除数 $10 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$10 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$

ステップ 2.2.2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			+	$10 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

ステップ 2.2.2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $10 x^{3} + 10 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

ステップ 2.2.2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

ステップ 2.2.2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

ステップ 2.2.2.1.5.7

被除数 $32 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

ステップ 2.2.2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$32 x$

ステップ 2.2.2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $32 x^{2} + 32 x$ の符号をすべて変更します。

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$

ステップ 2.2.2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$

ステップ 2.2.2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

ステップ 2.2.2.1.5.12

被除数 $25 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

ステップ 2.2.2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							+	$25 x$	+	$25$

ステップ 2.2.2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $25 x + 25$ の符号をすべて変更します。

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$

ステップ 2.2.2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$
										$0$

ステップ 2.2.2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$10 x^{2} + 32 x + 25$

ステップ 2.2.2.1.6

$10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ を因数の集合として書き換えます。

$2 ((x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

ステップ 2.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.5

$10 x^{2} + 32 x + 25$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$10 x^{2} + 32 x + 25$ が $0$ に等しいとします。

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 10$ 、 $b = 32$ 、および $c = 25$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (10 \cdot 25)}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.1

$32$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 10 \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $10$ をかけます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 40$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$1024$ から $1000$ を引きます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$24$ を $2^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.4.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $10$ をかけます。

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ を簡約します。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

ステップ 2.5.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1.1

$32$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 10 \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $10$ をかけます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.4.1.2.2

$- 40$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.4.1.3

$1024$ から $1000$ を引きます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.4.1.4

$24$ を $2^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1.4.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.4.2

$2$ に $10$ をかけます。

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

ステップ 2.5.2.4.3

$\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ を簡約します。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

ステップ 2.5.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 16 + \sqrt{6}}{10}$

ステップ 2.5.2.4.5

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 16 + \sqrt{6}}{10}$

ステップ 2.5.2.4.6

$- 1$ を $\sqrt{6}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - 1 (- \sqrt{6})}{10}$

ステップ 2.5.2.4.7

$- 1$ を $- 1 (16) - 1 (- \sqrt{6})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (16 - \sqrt{6})}{10}$

ステップ 2.5.2.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}$

ステップ 2.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1.1

$32$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 10 \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $10$ をかけます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.5.1.2.2

$- 40$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.5.1.3

$1024$ から $1000$ を引きます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.5.1.4

$24$ を $2^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1.4.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

ステップ 2.5.2.5.2

$2$ に $10$ をかけます。

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

ステップ 2.5.2.5.3

$\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ を簡約します。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

ステップ 2.5.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 16 - \sqrt{6}}{10}$

ステップ 2.5.2.5.5

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - \sqrt{6}}{10}$

ステップ 2.5.2.5.6

$- 1$ を $- \sqrt{6}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - (\sqrt{6})}{10}$

ステップ 2.5.2.5.7

$- 1$ を $- 1 (16) - (\sqrt{6})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (16 + \sqrt{6})}{10}$

ステップ 2.5.2.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

ステップ 2.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

ステップ 2.6

最終解は $2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1$ を $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = {((- 1) + 1)}^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = 0^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

ステップ 3.1.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (- 1) = 0 {((- 1) + 2)}^{2}$

ステップ 3.1.2.3

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$f (- 1) = 0 \cdot 1^{2}$

ステップ 3.1.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- 1) = 0 \cdot 1$

ステップ 3.1.2.5

$0$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = 0$

ステップ 3.1.2.6

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ で代入して $- 1$ 求めた点は、 $(- 1, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1, 0)$

ステップ 3.3

$- 1.35505102$ を $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 1.35505102$ で置換えます。

$f (- 1.35505102) = {((- 1.35505102) + 1)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- 1.35505102$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1.35505102) = {(- 0.35505102)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

ステップ 3.3.2.2

$- 0.35505102$ を $3$ 乗します。

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

ステップ 3.3.2.3

$- 1.35505102$ と $2$ をたし算します。

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot {0.64494897}^{2}$

ステップ 3.3.2.4

$0.64494897$ を $2$ 乗します。

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot 0.41595917$

ステップ 3.3.2.5

$- 0.04475816$ に $0.41595917$ をかけます。

$f (- 1.35505102) = - 0.01861757$

ステップ 3.3.2.6

最終的な答えは $- 0.01861757$ です。

$- 0.01861757$

ステップ 3.4

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ で代入して $- 1.35505102$ 求めた点は、 $(- 1.35505102, - 0.01861757)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1.35505102, - 0.01861757)$

ステップ 3.5

$- 1.84494897$ を $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

式の変数 $x$ を $- 1.84494897$ で置換えます。

$f (- 1.84494897) = {((- 1.84494897) + 1)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

ステップ 3.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$- 1.84494897$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1.84494897) = {(- 0.84494897)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

ステップ 3.5.2.2

$- 0.84494897$ を $3$ 乗します。

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

ステップ 3.5.2.3

$- 1.84494897$ と $2$ をたし算します。

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot {0.15505102}^{2}$

ステップ 3.5.2.4

$0.15505102$ を $2$ 乗します。

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot 0.02404082$

ステップ 3.5.2.5

$- 0.60324183$ に $0.02404082$ をかけます。

$f (- 1.84494897) = - 0.01450242$

ステップ 3.5.2.6

最終的な答えは $- 0.01450242$ です。

$- 0.01450242$

ステップ 3.6

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ で代入して $- 1.84494897$ 求めた点は、 $(- 1.84494897, - 0.01450242)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1.84494897, - 0.01450242)$

ステップ 3.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(- 1, 0), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1.84494897, - 0.01450242)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 1.84494897) \cup (- 1.84494897, - 1.35505102) \cup (- 1.35505102, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1.84494897)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.94494897$ で置換えます。

$f'' (- 1.94494897) = 20 {(- 1.94494897)}^{3} + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1.94494897$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1.94494897) = 20 \cdot - 7.35740454 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

ステップ 5.2.1.2

$20$ に $- 7.35740454$ をかけます。

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

ステップ 5.2.1.3

$- 1.94494897$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 \cdot 3.78282651 + 114 (- 1.94494897) + 50$

ステップ 5.2.1.4

$84$ に $3.78282651$ をかけます。

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 + 114 (- 1.94494897) + 50$

ステップ 5.2.1.5

$114$ に $- 1.94494897$ をかけます。

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 - 221.72418306 + 50$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 147.1480909$ と $317.75742705$ をたし算します。

$f'' (- 1.94494897) = 170.60933614 - 221.72418306 + 50$

ステップ 5.2.2.2

$170.60933614$ から $221.72418306$ を引きます。

$f'' (- 1.94494897) = - 51.11484692 + 50$

ステップ 5.2.2.3

$- 51.11484692$ と $50$ をたし算します。

$f'' (- 1.94494897) = - 1.11484692$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 1.11484692$ です。

$- 1.11484692$

ステップ 5.3

$- 1.94494897$ で二次導関数は $- 1.11484692$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 1.84494897)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1.84494897)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.6$ で置換えます。

$f'' (- 1.6) = 20 {(- 1.6)}^{3} + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1.6$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1.6) = 20 \cdot - 4.096 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

ステップ 6.2.1.2

$20$ に $- 4.096$ をかけます。

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

ステップ 6.2.1.3

$- 1.6$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 \cdot 2.56 + 114 (- 1.6) + 50$

ステップ 6.2.1.4

$84$ に $2.56$ をかけます。

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 + 114 (- 1.6) + 50$

ステップ 6.2.1.5

$114$ に $- 1.6$ をかけます。

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 - 182.4 + 50$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 81.92$ と $215.04$ をたし算します。

$f'' (- 1.6) = 133.12 - 182.4 + 50$

ステップ 6.2.2.2

$133.12$ から $182.4$ を引きます。

$f'' (- 1.6) = - 49.28 + 50$

ステップ 6.2.2.3

$- 49.28$ と $50$ をたし算します。

$f'' (- 1.6) = 0.72$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.72$ です。

$0.72$

ステップ 6.3

$- 1.6$ で二次導関数は $0.72$ です。これは正の値なので、 $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 1.35505102, - 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 1.17752551$ で置換えます。

$f'' (- 1.17752551) = 20 {(- 1.17752551)}^{3} + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 1.17752551$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1.17752551) = 20 \cdot - 1.63271723 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

ステップ 7.2.1.2

$20$ に $- 1.63271723$ をかけます。

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

ステップ 7.2.1.3

$- 1.17752551$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 \cdot 1.38656633 + 114 (- 1.17752551) + 50$

ステップ 7.2.1.4

$84$ に $1.38656633$ をかけます。

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 + 114 (- 1.17752551) + 50$

ステップ 7.2.1.5

$114$ に $- 1.17752551$ をかけます。

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 - 134.23790846 + 50$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 32.65434465$ と $116.471572$ をたし算します。

$f'' (- 1.17752551) = 83.81722735 - 134.23790846 + 50$

ステップ 7.2.2.2

$83.81722735$ から $134.23790846$ を引きます。

$f'' (- 1.17752551) = - 50.42068111 + 50$

ステップ 7.2.2.3

$- 50.42068111$ と $50$ をたし算します。

$f'' (- 1.17752551) = - 0.42068111$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 0.42068111$ です。

$- 0.42068111$

ステップ 7.3

$- 1.17752551$ で二次導関数は $- 0.42068111$ です。これは負の値なので、 $(- 1.35505102, - 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 1.35505102, - 1)$ で減少

ステップ 8

区間 $(- 1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $- 0.9$ で置換えます。

$f'' (- 0.9) = 20 {(- 0.9)}^{3} + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$- 0.9$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.9) = 20 \cdot - 0.729 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

ステップ 8.2.1.2

$20$ に $- 0.729$ をかけます。

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

ステップ 8.2.1.3

$- 0.9$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 \cdot 0.81 + 114 (- 0.9) + 50$

ステップ 8.2.1.4

$84$ に $0.81$ をかけます。

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 + 114 (- 0.9) + 50$

ステップ 8.2.1.5

$114$ に $- 0.9$ をかけます。

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 - 102.6 + 50$

ステップ 8.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$- 14.58$ と $68.04$ をたし算します。

$f'' (- 0.9) = 53.46 - 102.6 + 50$

ステップ 8.2.2.2

$53.46$ から $102.6$ を引きます。

$f'' (- 0.9) = - 49.14 + 50$

ステップ 8.2.2.3

$- 49.14$ と $50$ をたし算します。

$f'' (- 0.9) = 0.86$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $0.86$ です。

$0.86$

ステップ 8.3

$- 0.9$ で二次導関数は $0.86$ です。これは正の値なので、 $(- 1, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 1, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$ です。

$(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例