微分積分例

$f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

${(4 - 2 x)}^{2}$ を $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} ((4 - 2 x) (4 - 2 x))]$

ステップ 1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 (4 - 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

ステップ 1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

ステップ 1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

ステップ 1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

ステップ 1.1.3.1.2

$- 2$ に $4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

ステップ 1.1.3.1.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 x (- 2 x))]$

ステップ 1.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

ステップ 1.1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

ステップ 1.1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

ステップ 1.1.3.1.6

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x + 4 x^{2})]$

ステップ 1.1.3.2

$- 8 x$ から $8 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 16 x + 4 x^{2})]$

ステップ 1.1.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 16 - 16 x + 4 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [16 - 16 x + 4 x^{2}] + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

総和則では、 $16 - 16 x + 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ です。

$x^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.5.2

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.5.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ をたし算します。

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.5.4

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} (- 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.5.6

$- 16$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (- 16 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.5.7

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} (- 16 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.5.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- 16 + 4 (2 x)) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.5.9

$2$ に $4$ をかけます。

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.5.10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) (2 x)$

ステップ 1.1.5.11

$2$ を $16 - 16 x + 4 x^{2}$ の左に移動させます。

$x^{2} (- 16 + 8 x) + 2 \cdot (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + (2 \cdot 16 + 2 (- 16 x) + 2 (4 x^{2})) x$

ステップ 1.1.6.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.4.1

$- 16$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$- 16 \cdot x^{2} + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.4.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.4.2.1

$x$ を移動させます。

$- 16 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.4.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 16 x^{2} + x^{1} x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 16 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.4.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 16 x^{2} + x^{3} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.4.3

$8$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$- 16 x^{2} + 8 \cdot x^{3} + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.4.4

$2$ に $16$ をかけます。

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.4.5

$- 16$ に $2$ をかけます。

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x \cdot x + 2 (4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.4.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x) + 2 (4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.4.7

$x$ を $1$ 乗します。

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x^{1}) + 2 (4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.4.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{1 + 1} + 2 (4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.4.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 2 (4 x^{2}) x$

ステップ 1.1.6.4.10

$4$ に $2$ をかけます。

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{2} x$

ステップ 1.1.6.4.11

$x$ を $1$ 乗します。

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})$

ステップ 1.1.6.4.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{1 + 2}$

ステップ 1.1.6.4.13

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{3}$

ステップ 1.1.6.4.14

$- 16 x^{2}$ から $32 x^{2}$ を引きます。

$- 48 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 8 x^{3}$

ステップ 1.1.6.4.15

$8 x^{3}$ と $8 x^{3}$ をたし算します。

$- 48 x^{2} + 16 x^{3} + 32 x$

ステップ 1.1.6.5

項を並べ替えます。

$f' (x) = 16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{3}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $16$ をかけます。

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x^{2}$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$48 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$48 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $- 48$ をかけます。

$48 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 1.2.4

$\frac{d}{d x} [32 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $32 x$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$48 x^{2} - 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$48 x^{2} - 96 x + 32 \cdot 1$

ステップ 1.2.4.3

$32$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 48 x^{2} - 96 x + 32$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $48 x^{2} - 96 x + 32$ です。

$48 x^{2} - 96 x + 32$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$

ステップ 2.2

$16$ を $48 x^{2} - 96 x + 32$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$16$ を $48 x^{2}$ で因数分解します。

$16 (3 x^{2}) - 96 x + 32 = 0$

ステップ 2.2.2

$16$ を $- 96 x$ で因数分解します。

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 32 = 0$

ステップ 2.2.3

$16$ を $32$ で因数分解します。

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 16 (2) = 0$

ステップ 2.2.4

$16$ を $16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x)$ で因数分解します。

$16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2) = 0$

ステップ 2.2.5

$16$ を $16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2)$ で因数分解します。

$16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$

ステップ 2.3

$16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ の各項を $16$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ の各項を $16$ で割ります。

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

ステップ 2.3.2.1.2

$3 x^{2} - 6 x + 2$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 6 x + 2 = \frac{0}{16}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$0$ を $16$ で割ります。

$3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$

ステップ 2.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5

$a = 3$ 、 $b = - 6$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.2.2

$- 12$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.3

$36$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 2.6.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.2.2

$- 12$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.3

$36$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 2.7.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.2.2

$- 12$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.3

$36$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 2.8.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1.57735026$ を $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $1.57735026$ で置換えます。

$f (1.57735026) = {(1.57735026)}^{2} {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$1.57735026$ を $2$ 乗します。

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

ステップ 3.1.2.2

$- 2$ に $1.57735026$ をかけます。

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 3.15470053)}^{2}$

ステップ 3.1.2.3

$4$ から $3.15470053$ を引きます。

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot {0.84529946}^{2}$

ステップ 3.1.2.4

$0.84529946$ を $2$ 乗します。

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot 0.71453117$

ステップ 3.1.2.5

$2.48803387$ に $0.71453117$ をかけます。

$f (1.57735026) = 1.77777777$

ステップ 3.1.2.6

最終的な答えは $1.77777777$ です。

$1.77777777$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ で代入して $1.57735026$ 求めた点は、 $(1.57735026, 1.77777777)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1.57735026, 1.77777777)$

ステップ 3.3

$0.42264973$ を $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $0.42264973$ で置換えます。

$f (0.42264973) = {(0.42264973)}^{2} {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$0.42264973$ を $2$ 乗します。

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

ステップ 3.3.2.2

$- 2$ に $0.42264973$ をかけます。

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 0.84529946)}^{2}$

ステップ 3.3.2.3

$4$ から $0.84529946$ を引きます。

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot {3.15470053}^{2}$

ステップ 3.3.2.4

$3.15470053$ を $2$ 乗します。

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot 9.95213548$

ステップ 3.3.2.5

$0.17863279$ に $9.95213548$ をかけます。

$f (0.42264973) = 1.77777777$

ステップ 3.3.2.6

最終的な答えは $1.77777777$ です。

$1.77777777$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ で代入して $0.42264973$ 求めた点は、 $(0.42264973, 1.77777777)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0.42264973, 1.77777777)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(1.57735026, 1.77777777), (0.42264973, 1.77777777)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0.42264973) \cup (0.42264973, 1.57735026) \cup (1.57735026, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0.42264973)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0.32264973$ で置換えます。

$f'' (0.32264973) = 48 {(0.32264973)}^{2} - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0.32264973$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.32264973) = 48 \cdot 0.10410284 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

ステップ 5.2.1.2

$48$ に $0.10410284$ をかけます。

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

ステップ 5.2.1.3

$- 96$ に $0.32264973$ をかけます。

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 30.97437415 + 32$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$4.99693674$ から $30.97437415$ を引きます。

$f'' (0.32264973) = - 25.97743741 + 32$

ステップ 5.2.2.2

$- 25.97743741$ と $32$ をたし算します。

$f'' (0.32264973) = 6.02256258$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $6.02256258$ です。

$6.02256258$

ステップ 5.3

$0.32264973$ で二次導関数は $6.02256258$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0.42264973)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0.42264973)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0.42264973, 1.57735026)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f'' (1) = 48 {(1)}^{2} - 96 \cdot 1 + 32$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1) = 48 \cdot 1 - 96 \cdot 1 + 32$

ステップ 6.2.1.2

$48$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = 48 - 96 \cdot 1 + 32$

ステップ 6.2.1.3

$- 96$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = 48 - 96 + 32$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$48$ から $96$ を引きます。

$f'' (1) = - 48 + 32$

ステップ 6.2.2.2

$- 48$ と $32$ をたし算します。

$f'' (1) = - 16$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 16$ です。

$- 16$

ステップ 6.3

$1$ で二次導関数は $- 16$ です。これは負の値なので、 $(0.42264973, 1.57735026)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0.42264973, 1.57735026)$ で減少

ステップ 7

区間 $(1.57735026, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.67735026$ で置換えます。

$f'' (1.67735026) = 48 {(1.67735026)}^{2} - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$1.67735026$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.67735026) = 48 \cdot 2.81350392 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

ステップ 7.2.1.2

$48$ に $2.81350392$ をかけます。

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

ステップ 7.2.1.3

$- 96$ に $1.67735026$ をかけます。

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 161.02562584 + 32$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$135.04818842$ から $161.02562584$ を引きます。

$f'' (1.67735026) = - 25.97743741 + 32$

ステップ 7.2.2.2

$- 25.97743741$ と $32$ をたし算します。

$f'' (1.67735026) = 6.02256258$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $6.02256258$ です。

$6.02256258$

ステップ 7.3

$1.67735026$ で二次導関数は $6.02256258$ です。これは正の値なので、 $(1.57735026, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(1.57735026, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$ です。

$(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例