微分積分例

$y = 2 x \cos (x)$ , $(π, - 2 π)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = π$ と $y = - 2 π$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

ステップ 1.4.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

ステップ 1.5.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 1.6

$x = π$ で微分係数を求めます。

$- 2 π \sin (π) + 2 \cos (π)$

ステップ 1.7

簡約します。

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ステップ 1.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 2 π \sin (0) + 2 \cos (π)$

ステップ 1.7.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 2 π \cdot 0 + 2 \cos (π)$

ステップ 1.7.1.3

$- 2 π \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 1.7.1.3.1

$0$ に $- 2$ をかけます。

$0 π + 2 \cos (π)$

ステップ 1.7.1.3.2

$0$ に $π$ をかけます。

$0 + 2 \cos (π)$

ステップ 1.7.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$0 + 2 (- \cos (0))$

ステップ 1.7.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 2 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.7.1.6

$2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 1.7.1.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 + 2 \cdot - 1$

ステップ 1.7.1.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 1.7.2

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 2$ と与えられた点 $(π, - 2 π)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 2 π) = - 2 \cdot (x - (π))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 2 π = - 2 \cdot (x - π)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- 2 \cdot (x - π)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + 2 π = 0 + 0 - 2 \cdot (x - π)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 2 π = - 2 \cdot (x - π)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 2 π = - 2 x - 2 (- π)$

ステップ 2.3.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y + 2 π = - 2 x + 2 π$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $2 π$ を引きます。

$y = - 2 x + 2 π - 2 π$

ステップ 2.3.2.2

$- 2 x + 2 π - 2 π$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.3.2.2.1

$2 π$ から $2 π$ を引きます。

$y = - 2 x + 0$

ステップ 2.3.2.2.2

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$y = - 2 x$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例