微分積分例

$y = arcsec (6 x)$ , $(\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{π}{4})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$ と $y = \frac{π}{4}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = arcsec (x)$ および $g (x) = 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $arcsec (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ です。

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{6 x \sqrt{{(6 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{6 x \sqrt{{(6 (x))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.2.2

式を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

積の法則を $6 (x)$ に当てはめます。

$\frac{1}{6 x \sqrt{6^{2} x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.2.2.2

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.2.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} (6 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4

項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$6$ と $\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$ をまとめます。

$\frac{6}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.4.2

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{6}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \cdot 1$

ステップ 1.2.6

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$

ステップ 1.3

$x = \frac{\sqrt{2}}{6}$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{6}) \sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{\sqrt{2}}{6}$ と $\sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}}{6}}$

ステップ 1.4.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1)}}{6}}$

ステップ 1.4.2.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{6}$ に当てはめます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

ステップ 1.4.2.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.4.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

ステップ 1.4.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

ステップ 1.4.2.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

ステップ 1.4.2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

ステップ 1.4.2.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{1}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

ステップ 1.4.2.3.5

指数を求めます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

ステップ 1.4.2.4

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 (\frac{2}{36}) - 1)}}{6}}$

ステップ 1.4.2.5

$36$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 (\frac{2}{36}) - 1)}}{6}}$

ステップ 1.4.2.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (2 - 1)}}{6}}$

ステップ 1.4.2.6

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 \cdot 1}}{6}}$

ステップ 1.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{6}}$

ステップ 1.4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{6}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.4.5

$\frac{6}{\sqrt{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{6}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.4.6

$\frac{6}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.4.7.1

$\frac{6}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 1.4.7.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 1.4.7.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 1.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 1.4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 1.4.7.6.5

指数を求めます。

$\frac{6 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4.8

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.8.1

$2$ を $6 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

ステップ 1.4.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 1.4.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{1}$

ステップ 1.4.8.2.4

$3 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$3 \sqrt{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $3 \sqrt{2}$ と与えられた点 $(\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{π}{4})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{π}{4}) = 3 \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{\sqrt{2}}{6}))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{6})$

ステップ 2.3.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.4.1

$- \frac{\sqrt{2}}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{6}$

ステップ 2.3.1.4.2

$3$ を $3 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{6}$

ステップ 2.3.1.4.3

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{3 (2)}$

ステップ 2.3.1.4.4

共通因数を約分します。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

ステップ 2.3.1.4.5

式を書き換えます。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.3.1.5

$\sqrt{2}$ と $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{\sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

ステップ 2.3.1.6

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

ステップ 2.3.1.7

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

ステップ 2.3.1.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

ステップ 2.3.1.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

ステップ 2.3.1.10

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.10.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.1.10.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

ステップ 2.3.1.10.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

ステップ 2.3.1.10.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 2.3.1.10.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.10.1.4.1

共通因数を約分します。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 2.3.1.10.1.4.2

式を書き換えます。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{1}}{2}$

ステップ 2.3.1.10.1.5

指数を求めます。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.1.10.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.3.1.10.3

$- 2$ を $2$ で割ります。

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x - 1$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $\frac{π}{4}$ を足します。

$y = 3 \sqrt{2} x - 1 + \frac{π}{4}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = 3 \sqrt{2} x - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 2.3.3.2

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 2.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 2.3.3.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 4 + π}{4}$

ステップ 2.3.3.5

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4) + π}{4}$

ステップ 2.3.3.6

$- 1$ を $π$ で因数分解します。

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4) - 1 (- π)}{4}$

ステップ 2.3.3.7

$- 1$ を $- 1 (4) - 1 (- π)$ で因数分解します。

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4 - π)}{4}$

ステップ 2.3.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$y = 3 \sqrt{2} x - \frac{4 - π}{4}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例