微分積分例

$y = {(3 x - 1)}^{- 6}$ , $(0, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{- 6}$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 6}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

ステップ 1.1.2

$n = - 6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 u^{- 7} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.4

$3$ に $1$ をかけます。

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 + 0)$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} \cdot 3$

ステップ 1.2.6.2

$3$ に $- 6$ をかけます。

$- 18 {(3 x - 1)}^{- 7}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 18 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{7}}$

ステップ 1.3.2

$- 18$ と $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{7}}$ をまとめます。

$\frac{- 18}{{(3 x - 1)}^{7}}$

ステップ 1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{18}{{(3 x - 1)}^{7}}$

ステップ 1.4

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$- \frac{18}{{(3 (0) - 1)}^{7}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$- \frac{18}{{(0 - 1)}^{7}}$

ステップ 1.5.1.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- \frac{18}{{(- 1)}^{7}}$

ステップ 1.5.1.3

$- 1$ を $7$ 乗します。

$- \frac{18}{- 1}$

ステップ 1.5.2

式を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$18$ を $- 1$ で割ります。

$- - 18$

ステップ 1.5.2.2

$- 1$ に $- 18$ をかけます。

$18$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $18$ と与えられた点 $(0, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = 18 \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = 18 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 1 = 18 x$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 18 x + 1$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例