微分積分例

$x \cos (y) = 1$ , $(2, \frac{π}{3})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = \frac{π}{3}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (y)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

ステップ 1.2.5

式を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$\cos (y)$ に $1$ をかけます。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

ステップ 1.2.5.2

項を並べ替えます。

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

ステップ 1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$ の因数を並べ替えます。

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

ステップ 1.5.2

方程式の両辺から $\cos (y)$ を引きます。

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

ステップ 1.5.3

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ の各項を $- x \sin (y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ の各項を $- x \sin (y)$ で割ります。

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

ステップ 1.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

ステップ 1.5.3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

ステップ 1.5.3.2.3

$\sin (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

ステップ 1.5.3.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

ステップ 1.5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

ステップ 1.5.3.3.2

分数を分解します。

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

ステップ 1.5.3.3.3

$\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ を $\cot (y)$ に変換します。

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

ステップ 1.5.3.3.4

$\frac{1}{x}$ と $\cot (y)$ をまとめます。

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$

ステップ 1.7

$y = \frac{π}{3}$ と $x = 2$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$\frac{\cot (y)}{2}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $\frac{π}{3}$ で置換えます。

$\frac{\cot (\frac{π}{3})}{2}$

ステップ 1.7.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.3.1

$\cot (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{\sqrt{3}}$ です。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{2}$

ステップ 1.7.3.2

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{2}$

ステップ 1.7.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.7.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{2}$

ステップ 1.7.3.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{2}$

ステップ 1.7.3.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{2}$

ステップ 1.7.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2}$

ステップ 1.7.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

ステップ 1.7.3.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 1.7.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

ステップ 1.7.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

ステップ 1.7.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

ステップ 1.7.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

ステップ 1.7.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{2}$

ステップ 1.7.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$

ステップ 1.7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.7.5

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.7.5.1

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

ステップ 1.7.5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{\sqrt{3}}{6}$ と与えられた点 $(2, \frac{π}{3})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - (2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{π}{3} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.2

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} x + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.2.2

$\frac{\sqrt{3}}{6}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 (3)} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.2.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3.3

共通因数を約分します。

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3.4

式を書き換えます。

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.2.4

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 1}{3}$

ステップ 2.3.1.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1.1

$- 1$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 \cdot \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.1.3.1.2

$- 1 \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.1.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $\frac{π}{3}$ を足します。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3} + π}{3}$

ステップ 2.3.3.2

$- 1$ を $- \sqrt{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) + π}{3}$

ステップ 2.3.3.3

$- 1$ を $π$ で因数分解します。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) - 1 (- π)}{3}$

ステップ 2.3.3.4

$- 1$ を $- (\sqrt{3}) - 1 (- π)$ で因数分解します。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3} - π)}{3}$

ステップ 2.3.3.5

$- (\sqrt{3} - π)$ を $- 1 (\sqrt{3} - π)$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 (\sqrt{3} - π)}{3}$

ステップ 2.3.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

ステップ 2.3.3.7

項を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} x - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例