微分積分例

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

ステップ 4

$u = - \frac{1}{x}$ とします。次に $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ すると、 $x^{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = - \frac{1}{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{1}{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

ステップ 4.1.2

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3

微分します。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3.3

掛け算します。

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ステップ 4.1.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 4.1.3.5

式を簡約します。

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ステップ 4.1.3.5.1

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$x^{- 2} + 0$

ステップ 4.1.3.5.2

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{- 2}$

ステップ 4.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} d u$

ステップ 5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{u} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $- \frac{1}{x}$ で置き換えます。

$e^{- \frac{1}{x}} + C$

ステップ 7

答えは関数 $f (x) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $e^{- \frac{1}{x}} + C$

微分積分 例

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