微分積分例

$\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

ステップ 1

$\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

ステップ 4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

ステップ 5

$u = 3 + \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- d u = \sin (x) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u = 3 + \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$3 + \cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]$

ステップ 5.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

総和則では、 $3 + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 5.1.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 5.1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 - \sin (x)$

ステップ 5.1.4

$0$ から $\sin (x)$ を引きます。

$- \sin (x)$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 8

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

ステップ 10

簡約します。

$- 4 \ln (| u |) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $3 + \cos (x)$ で置き換えます。

$- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$

微分積分 例

微分積分例