微分積分例

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

ステップ 1

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ を $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ に書き換えます。

$\int (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\int \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

ステップ 4.3.1.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

ステップ 4.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

ステップ 4.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

ステップ 4.3.1.2

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.2.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

ステップ 4.3.1.2.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

ステップ 4.3.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

ステップ 4.3.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

ステップ 4.3.2

$\sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\int \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

ステップ 4.3.3

$\cos (x) \sin (x)$ と $\cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$\int \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

ステップ 4.4

$\cos^{2} (x)$ を移動させます。

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 4.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int 1 + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 4.6

各項を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\int 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) d x$

ステップ 4.6.2

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$\int 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) d x$

ステップ 4.6.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\int 1 + \sin (2 x) d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int \sin (2 x) d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int \sin (2 x) d x$

ステップ 7

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C + \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 8

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x + C + \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x + C + \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

ステップ 10

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$x + C + \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

ステップ 11

簡約します。

$x - \frac{\cos (u)}{2} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$x - \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

微分積分 例

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