微分積分例

$x e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 1

$x e^{\frac{x}{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x e^{\frac{x}{2}} d x$

ステップ 4

$u = x$ と $d v = e^{\frac{x}{2}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} x} d x$

ステップ 5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{x}{2}} d x)$

ステップ 6.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{\frac{x}{2}} d x$

ステップ 7

$u = \frac{x}{2}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = \frac{x}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$\frac{x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 7.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

ステップ 8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

ステップ 8.3

$2$ を $e^{u}$ の左に移動させます。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

ステップ 9

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

ステップ 10

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

ステップ 11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

ステップ 12

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ を $2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$ に書き換えます。

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}} + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$

微分積分 例

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