微分積分例

$\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

ステップ 1

$\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 4.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int x^{2} \ln (x) d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 7

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 8.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 8.3

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 8.4

$\frac{x^{3}}{3}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 8.5

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 8.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.2.1

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 8.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 8.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 11

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

ステップ 12

$- \frac{3}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{3}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} \int x^{2} d x$

ステップ 13

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

簡約します。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

ステップ 14.2

簡約します。

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ステップ 14.2.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C$

ステップ 14.2.2

$\frac{x^{3}}{3}$ に $\frac{3}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{3 \cdot 4} + C$

ステップ 14.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{12} + C$

ステップ 14.2.4

$3$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 \cdot x^{3}}{12} + C$

ステップ 14.2.5

$3$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.5.1

$3$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 (x^{3})}{12} + C$

ステップ 14.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.5.2.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

ステップ 14.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

ステップ 14.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3}}{4} + C$

ステップ 14.2.6

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

ステップ 14.2.7

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

ステップ 14.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4 - x^{3}}{4} + C$

ステップ 14.2.9

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{4}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

ステップ 14.2.10

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.10.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

ステップ 14.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

ステップ 14.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

ステップ 14.2.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{2}{1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

ステップ 14.2.10.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$

微分積分 例

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