微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\ln (x^{2} + 1)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{2} + 1)}$

ステップ 1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{2} + 1)}$

ステップ 1.3

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\ln (x^{2} + 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

ステップ 3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

ステップ 3.4

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

ステップ 3.5

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

ステップ 3.5.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

ステップ 3.5.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)}$

ステップ 3.9

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)}$

ステップ 3.10

$2$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{2}{x^{2} + 1} x}$

ステップ 3.11

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} 4 \frac{x^{2} + 1}{2 x}$

ステップ 5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$4$ と $\frac{x^{2} + 1}{2 x}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} + 1)}{2 x}$

ステップ 5.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $4 (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 x}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 (x)}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 x}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} + 1)}{x}$

ステップ 6

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 6.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 (x^{2} + 1)}{lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 6.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 6.1.2.1

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 6.1.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 2}{lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 6.1.2.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 6.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 6.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} + 1)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 (x^{2} + 1)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.6

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.7

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{1}$

ステップ 6.4

$4 x$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} 4 x$

ステップ 7

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\infty$

微分積分 例

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