微分積分例

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

ステップ 1.2

首位係数が正である奇数次数の多項式の負の無限大における極限は負の無限大です。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

ステップ 1.3

$x$ がラジカルの $- \infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

ステップ 3.4

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

ステップ 3.5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ を ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 3.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 16 x^{2} - 9 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $16 x^{2} - 9 x$ とします。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

ステップ 3.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

ステップ 3.6.3

$u$ のすべての発生を $16 x^{2} - 9 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

ステップ 3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

ステップ 3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

ステップ 3.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

ステップ 3.10

分子を簡約します。

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ステップ 3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

ステップ 3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

ステップ 3.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

ステップ 3.12

$\frac{1}{2}$ と ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{{(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

ステップ 3.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

ステップ 3.14

総和則では、 $16 x^{2} - 9 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

ステップ 3.15

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{2}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

ステップ 3.16

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

ステップ 3.17

$2$ に $16$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

ステップ 3.18

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.19

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \cdot 1)}$

ステップ 3.20

$- 9$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)}$

ステップ 3.21

簡約します。

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ステップ 3.21.1

$\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{(32 x - 9) \frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.21.2

$32 x - 9$ に $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{32 x - 9}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}{32 x - 9}$

ステップ 5

${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

ステップ 6

因数をまとめます。

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ステップ 6.1

$3$ と $\frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$ をまとめます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 (2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x})}{32 x - 9}$

ステップ 6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

ステップ 7.2

$x$ を $16 x^{2} - 9 x$ で因数分解します。

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ステップ 7.2.1

$x$ を $16 x^{2}$ で因数分解します。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x - 9 x}}{32 x - 9}$

ステップ 7.2.2

$x$ を $- 9 x$ で因数分解します。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x + x \cdot - 9}}{32 x - 9}$

ステップ 7.2.3

$x$ を $x (16 x) + x \cdot - 9$ で因数分解します。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (16 x - 9)}}{32 x - 9}$

ステップ 8

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $- \sqrt{x^{2}} = x$ です。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{\frac{32 x}{x} + \frac{- 9}{x}}$

ステップ 9

各項を簡約します。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 10

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 10.2

共通因数を約分します。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 10.3

式を書き換えます。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 11

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$6 \frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 11.2

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 \frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 11.3

根号の下に極限を移動させます。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 12

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 13

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 13.1.1.2

$16$ を $1$ で割ります。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 13.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 13.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 13.2.2

式を書き換えます。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 13.3

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 13.4

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 13.5

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $16$ の極限値を求めます。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 13.6

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 14

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 15

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

ステップ 15.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

ステップ 15.3

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $32$ の極限値を求めます。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

ステップ 15.4

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 16

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 \cdot 0}$

ステップ 17

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$16 - 9 \cdot 0$ を $1$ で割ります。

$6 \frac{- \sqrt{16 - 9 \cdot 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

ステップ 17.2

分子を簡約します。

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ステップ 17.2.1

$- 9$ に $0$ をかけます。

$6 \frac{- \sqrt{16 + 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

ステップ 17.2.2

$16$ と $0$ をたし算します。

$6 \frac{- \sqrt{16}}{32 - 9 \cdot 0}$

ステップ 17.2.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$6 \frac{- \sqrt{4^{2}}}{32 - 9 \cdot 0}$

ステップ 17.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 - 9 \cdot 0}$

ステップ 17.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1

$- 9$ に $0$ をかけます。

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 + 0}$

ステップ 17.3.2

$32$ と $0$ をたし算します。

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32}$

ステップ 17.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$6 (\frac{- 4}{32})$

ステップ 17.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.5.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{- 4}{32}$

ステップ 17.5.2

$2$ を $32$ で因数分解します。

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

ステップ 17.5.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

ステップ 17.5.4

式を書き換えます。

$3 (\frac{- 4}{16})$

ステップ 17.6

$3$ と $\frac{- 4}{16}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot - 4}{16}$

ステップ 17.7

$3$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 12}{16}$

ステップ 17.8

$- 12$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.8.1

$4$ を $- 12$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 3)}{16}$

ステップ 17.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.8.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

ステップ 17.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

ステップ 17.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3}{4}$

ステップ 17.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{4}$

微分積分 例

微分積分例