微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 2)}{x^{2}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 2)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.7

$\frac{1}{x + 2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2}}{2 x}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 2} \cdot \frac{1}{2 x}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x + 2}$ に $\frac{1}{2 x}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x + 2) (2 x)}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x + 2) (x)}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{(x + 2) (x)}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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