微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{3} + h) - \sin (\frac{π}{3})}{h}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (\frac{π}{3} + h) - \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (\frac{π}{3} + h) - lim_{h \to 0} \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.1.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} \frac{π}{3} + h) - lim_{h \to 0} \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} \frac{π}{3} + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\frac{π}{3}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (\frac{π}{3} + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\sin (\frac{π}{3})$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (\frac{π}{3} + lim_{h \to 0} h) - \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (\frac{π}{3} + 0) - \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

$\frac{π}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.3.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.3.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.3.3

$\sqrt{3}$ から $\sqrt{3}$ を引きます。

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.3.4

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{3} + h) - \sin (\frac{π}{3})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (\frac{π}{3} + h) - \sin (\frac{π}{3})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (\frac{π}{3} + h) - \sin (\frac{π}{3})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (\frac{π}{3} + h) - \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.3

総和則では、 $\sin (\frac{π}{3} + h) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\sin (\frac{π}{3} + h)] + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (\frac{π}{3} + h)] + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d h} [\sin (\frac{π}{3} + h)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$f (h) = \sin (h)$ および $g (h) = \frac{π}{3} + h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{π}{3} + h$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [\frac{π}{3} + h] + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.4.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d h} [\frac{π}{3} + h] + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.4.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{π}{3} + h$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) \frac{d}{d h} [\frac{π}{3} + h] + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.4.2

総和則では、 $\frac{π}{3} + h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\frac{π}{3}] + \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) (\frac{d}{d h} [\frac{π}{3}] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.4.3

$\frac{π}{3}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $\frac{π}{3}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.4.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.4.6

$\cos (\frac{π}{3} + h)$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.5

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.6

$\cos (\frac{π}{3} + h)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h)}{1}$

ステップ 4

項をまとめます。

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ステップ 4.1

$h$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h \cdot \frac{3}{3})}{1}$

ステップ 4.2

$h$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + \frac{h \cdot 3}{3})}{1}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π + h \cdot 3}{3})}{1}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$\cos (\frac{π + h \cdot 3}{3})$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} \cos (\frac{π + h \cdot 3}{3})$

ステップ 5.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos (lim_{h \to 0} \frac{π + h \cdot 3}{3})$

ステップ 5.3

$\frac{1}{3}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\cos (\frac{1}{3} lim_{h \to 0} π + h \cdot 3)$

ステップ 5.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\cos (\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} h \cdot 3))$

ステップ 5.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $π$ の極限値を求めます。

$\cos (\frac{1}{3} (π + lim_{h \to 0} h \cdot 3))$

ステップ 5.6

$3$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\cos (\frac{1}{3} (π + 3 lim_{h \to 0} h))$

ステップ 6

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\cos (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\cos (\frac{1}{3} (π + 0))$

ステップ 7.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$\cos (\frac{1}{3} π)$

ステップ 7.3

$\frac{1}{3}$ と $π$ をまとめます。

$\cos (\frac{π}{3})$

ステップ 7.4

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2}$

微分積分 例

微分積分例