微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} - 8 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 x^{3} - 8 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 8 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 8$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} - 8$ です。

$12 x^{2} - 8$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$12 x^{2} = 8$

ステップ 2.3

$12 x^{2} = 8$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$12 x^{2} = 8$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{8}{12}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{8}{12}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{8}{12}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$8$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{4 (2)}{12}$

ステップ 2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} = \frac{2}{3}$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.5

$\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ を $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.2

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.5.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.5.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.5.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.5.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.5.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.5.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.5.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

ステップ 2.5.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $4 x^{3} - 8 x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{\sqrt{6}}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ を $x$ に代入します。

$4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{3} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{6}}{3}$ に当てはめます。

$4 \frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3^{3}} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.1

${\sqrt{6}}^{3}$ を $\sqrt{6^{3}}$ に書き換えます。

$4 \frac{\sqrt{6^{3}}}{3^{3}} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.2.2

$6$ を $3$ 乗します。

$4 \frac{\sqrt{216}}{3^{3}} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.2.3

$216$ を $6^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.3.1

$36$ を $216$ で因数分解します。

$4 \frac{\sqrt{36 (6)}}{3^{3}} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.2.3.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$4 \frac{\sqrt{6^{2} \cdot 6}}{3^{3}} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$4 \frac{6 \sqrt{6}}{3^{3}} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$4 \frac{6 \sqrt{6}}{27} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.4

$6$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.1

$3$ を $6 \sqrt{6}$ で因数分解します。

$4 \frac{3 (2 \sqrt{6})}{27} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.2.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$4 \frac{3 (2 \sqrt{6})}{3 (9)} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{3 (2 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$4 \frac{2 \sqrt{6}}{9} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.5

$4 \frac{2 \sqrt{6}}{9}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.5.1

$4$ と $\frac{2 \sqrt{6}}{9}$ をまとめます。

$\frac{4 (2 \sqrt{6})}{9} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.5.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 \sqrt{6}}{9} - 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.6

$- 8$ と $\frac{\sqrt{6}}{3}$ をまとめます。

$\frac{8 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{8 \sqrt{6}}{9} - \frac{8 \sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.1.2.2

$- \frac{8 \sqrt{6}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{8 \sqrt{6}}{9} - \frac{8 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$\frac{8 \sqrt{6}}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{8 \sqrt{6}}{9} - \frac{8 \sqrt{6} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

ステップ 4.1.2.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{8 \sqrt{6}}{9} - \frac{8 \sqrt{6} \cdot 3}{9}$

ステップ 4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} \cdot 3}{9}$

ステップ 4.1.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$3$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{8 \sqrt{6} - 24 \sqrt{6}}{9}$

ステップ 4.1.2.5.2

$8 \sqrt{6}$ から $24 \sqrt{6}$ を引きます。

$\frac{- 16 \sqrt{6}}{9}$

ステップ 4.1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16 \sqrt{6}}{9}$

ステップ 4.2

$x = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- \frac{\sqrt{6}}{3}$ を $x$ に代入します。

$4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{3} - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ に当てはめます。

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{3}) - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{6}}{3}$ に当てはめます。

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3^{3}}) - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$4 (- \frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3^{3}}) - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.1

${\sqrt{6}}^{3}$ を $\sqrt{6^{3}}$ に書き換えます。

$4 (- \frac{\sqrt{6^{3}}}{3^{3}}) - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.3.2

$6$ を $3$ 乗します。

$4 (- \frac{\sqrt{216}}{3^{3}}) - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.3.3

$216$ を $6^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.3.1

$36$ を $216$ で因数分解します。

$4 (- \frac{\sqrt{36 (6)}}{3^{3}}) - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.3.3.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$4 (- \frac{\sqrt{6^{2} \cdot 6}}{3^{3}}) - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.3.4

累乗根の下から項を取り出します。

$4 (- \frac{6 \sqrt{6}}{3^{3}}) - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.4

$3$ を $3$ 乗します。

$4 (- \frac{6 \sqrt{6}}{27}) - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.5

$6$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.5.1

$3$ を $6 \sqrt{6}$ で因数分解します。

$4 (- \frac{3 (2 \sqrt{6})}{27}) - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.5.2.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$4 (- \frac{3 (2 \sqrt{6})}{3 (9)}) - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$4 (- \frac{3 (2 \sqrt{6})}{3 \cdot 9}) - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$4 (- \frac{2 \sqrt{6}}{9}) - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.6

$4 (- \frac{2 \sqrt{6}}{9})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.6.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \frac{2 \sqrt{6}}{9} - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.6.2

$- 4$ と $\frac{2 \sqrt{6}}{9}$ をまとめます。

$\frac{- 4 (2 \sqrt{6})}{9} - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.6.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 8 \sqrt{6}}{9} - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 \sqrt{6}}{9} - 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.8

$- 8 (- \frac{\sqrt{6}}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.8.1

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$- \frac{8 \sqrt{6}}{9} + 8 \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.2.2.1.8.2

$8$ と $\frac{\sqrt{6}}{3}$ をまとめます。

$- \frac{8 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6}}{3}$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{8 \sqrt{6}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{8 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.2.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

$\frac{8 \sqrt{6}}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{8 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

ステップ 4.2.2.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{8 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 3}{9}$

ステップ 4.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 8 \sqrt{6} + 8 \sqrt{6} \cdot 3}{9}$

ステップ 4.2.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.5.1

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 8 \sqrt{6} + 24 \sqrt{6}}{9}$

ステップ 4.2.2.5.2

$- 8 \sqrt{6}$ と $24 \sqrt{6}$ をたし算します。

$\frac{16 \sqrt{6}}{9}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{16 \sqrt{6}}{9}), (- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{16 \sqrt{6}}{9})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例